0010-正则表达式匹配

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 10:40:27 2023-09-13 10:40:27 Updated    

给你一个字符串 s 和一个字符规律 p，请你来实现一个支持 '.' 和 '*' 的正则表达式匹配。

  • '.' 匹配任意单个字符
  • '*' 匹配零个或多个前面的那一个元素

所谓匹配，是要涵盖 **整个 **字符串 s的，而不是部分字符串。

示例 1：

**输入：** s = "aa", p = "a"
**输出：** false
**解释：** "a" 无法匹配 "aa" 整个字符串。

示例 2:

**输入：** s = "aa", p = "a*"
**输出：** true
**解释：** 因为 '*' 代表可以匹配零个或多个前面的那一个元素, 在这里前面的元素就是 'a'。因此，字符串 "aa" 可被视为 'a' 重复了一次。

示例 3：

**输入：** s = "ab", p = ".*"
**输出：** true
**解释：** ".*" 表示可匹配零个或多个（'*'）任意字符（'.'）。

提示：

  • 1 <= s.length <= 20
  • 1 <= p.length <= 20
  • s 只包含从 a-z 的小写字母。
  • p 只包含从 a-z 的小写字母，以及字符 . 和 *。
  • 保证每次出现字符 * 时，前面都匹配到有效的字符

方法一：动态规划

思路与算法

题目中的匹配是一个「逐步匹配」的过程：我们每次从字符串 $p$ 中取出一个字符或者「字符 + 星号」的组合，并在 $s$ 中进行匹配。对于 $p$ 中一个字符而言，它只能在 $s$ 中匹配一个字符，匹配的方法具有唯一性；而对于 $p$ 中字符 + 星号的组合而言，它可以在 $s$ 中匹配任意自然数个字符，并不具有唯一性。因此我们可以考虑使用动态规划，对匹配的方案进行枚举。

我们用 $f[i][j]$ 表示 $s$ 的前 $i$ 个字符与 $p$ 中的前 $j$ 个字符是否能够匹配。在进行状态转移时，我们考虑 $p$ 的第 $j$ 个字符的匹配情况：

  • 如果 $p$ 的第 $j$ 个字符是一个小写字母，那么我们必须在 $s$ 中匹配一个相同的小写字母，即

$$
f[i][j] = \begin{cases}
f[i - 1][j - 1], & s[i] = p[j]\
\text{false}, & s[i] \neq p[j]
\end{cases}
$$

也就是说，如果 $s$ 的第 $i$ 个字符与 $p$ 的第 $j$ 个字符不相同，那么无法进行匹配；否则我们可以匹配两个字符串的最后一个字符，完整的匹配结果取决于两个字符串前面的部分。

  • 如果 $p$ 的第 $j$ 个字符是 *，那么就表示我们可以对 $p$ 的第 $j-1$ 个字符匹配任意自然数次。在匹配 $0$ 次的情况下，我们有

$$
f[i][j] = f[i][j - 2]
$$

也就是我们「浪费」了一个字符 + 星号的组合，没有匹配任何 $s$ 中的字符。

在匹配 $1,2,3, \cdots$ 次的情况下，类似地我们有

$$
\begin{aligned}
& f[i][j] = f[i - 1][j - 2], \quad && \text{if} s[i] = p[j - 1] \
& f[i][j] = f[i - 2][j - 2], \quad && \text{if} s[i - 1] = s[i] = p[j - 1] \
& f[i][j] = f[i - 3][j - 2], \quad && \text{if~} s[i - 2] = s[i - 1] = s[i] = p[j - 1] \
& \cdots\cdots &
\end{aligned}
$$

如果我们通过这种方法进行转移，那么我们就需要枚举这个组合到底匹配了 $s$ 中的几个字符，会增导致时间复杂度增加，并且代码编写起来十分麻烦。我们不妨换个角度考虑这个问题：字母 + 星号的组合在匹配的过程中，本质上只会有两种情况：

  • 匹配 $s$ 末尾的一个字符，将该字符扔掉，而该组合还可以继续进行匹配；

  • 不匹配字符，将该组合扔掉，不再进行匹配。

如果按照这个角度进行思考，我们可以写出很精巧的状态转移方程：

$$
f[i][j] = \begin{cases}
f[i - 1][j] \text{or} f[i][j - 2], & s[i] = p[j - 1] \
f[i][j - 2], & s[i] \neq p[j - 1]
\end{cases}
$$

  • 在任意情况下，只要 $p[j]$ 是 .，那么 $p[j]$ 一定成功匹配 $s$ 中的任意一个小写字母。

最终的状态转移方程如下：

$$
f[i][j] = \begin{cases}
\text{if} (p[j] \neq \text{`*’}) = \begin{cases}
f[i - 1][j - 1], & \textit{matches}(s[i], p[j])\
\text{false}, & \text{otherwise}
\end{cases} \
\text{otherwise} = \begin{cases}
f[i - 1][j] \text{or} f[i][j - 2], & \textit{matches}(s[i], p[j-1]) \
f[i][j - 2], & \text{otherwise}
\end{cases}
\end{cases}
$$

其中 $\textit{matches}(x, y)$ 判断两个字符是否匹配的辅助函数。只有当 $y$ 是 . 或者 $x$ 和 $y$ 本身相同时，这两个字符才会匹配。

细节

动态规划的边界条件为 $f[0][0] = \text{true}$，即两个空字符串是可以匹配的。最终的答案即为 $f[m][n]$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是字符串 $s$ 和 $p$ 的长度。由于大部分语言中，字符串的字符下标是从 $0$ 开始的，因此在实现上面的状态转移方程时，需要注意状态中每一维下标与实际字符下标的对应关系。

在上面的状态转移方程中，如果字符串 $p$ 中包含一个「字符 + 星号」的组合（例如 a*），那么在进行状态转移时，会先将 a 进行匹配（当 $p[j]$ 为 a 时），再将 a* 作为整体进行匹配（当 $p[j]$ 为 * 时）。然而，在题目描述中，我们必须将 a* 看成一个整体，因此将 a 进行匹配是不符合题目要求的。看来我们进行了额外的状态转移，这样会对最终的答案产生影响吗？这个问题留给读者进行思考。

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class Solution {
public:
    bool isMatch(string s, string p) {
        int m = s.size();
        int n = p.size();

        auto matches = [&](int i, int j) {
            if (i == 0) {
                return false;
            }
            if (p[j - 1] == '.') {
                return true;
            }
            return s[i - 1] == p[j - 1];
        };

        vector<vector<int>> f(m + 1, vector<int>(n + 1));
        f[0][0] = true;
        for (int i = 0; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (p[j - 1] == '*') {
                    f[i][j] |= f[i][j - 2];
                    if (matches(i, j - 1)) {
                        f[i][j] |= f[i - 1][j];
                    }
                }
                else {
                    if (matches(i, j)) {
                        f[i][j] |= f[i - 1][j - 1];
                    }
                }
            }
        }
        return f[m][n];
    }
};
[sol1-Java]
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class Solution {
    public boolean isMatch(String s, String p) {
        int m = s.length();
        int n = p.length();

        boolean[][] f = new boolean[m + 1][n + 1];
        f[0][0] = true;
        for (int i = 0; i <= m; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                if (p.charAt(j - 1) == '*') {
                    f[i][j] = f[i][j - 2];
                    if (matches(s, p, i, j - 1)) {
                        f[i][j] = f[i][j] || f[i - 1][j];
                    }
                } else {
                    if (matches(s, p, i, j)) {
                        f[i][j] = f[i - 1][j - 1];
                    }
                }
            }
        }
        return f[m][n];
    }

    public boolean matches(String s, String p, int i, int j) {
        if (i == 0) {
            return false;
        }
        if (p.charAt(j - 1) == '.') {
            return true;
        }
        return s.charAt(i - 1) == p.charAt(j - 1);
    }
}
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class Solution:
    def isMatch(self, s: str, p: str) -> bool:
        m, n = len(s), len(p)

        def matches(i: int, j: int) -> bool:
            if i == 0:
                return False
            if p[j - 1] == '.':
                return True
            return s[i - 1] == p[j - 1]

        f = [[False] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        f[0][0] = True
        for i in range(m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if p[j - 1] == '*':
                    f[i][j] |= f[i][j - 2]
                    if matches(i, j - 1):
                        f[i][j] |= f[i - 1][j]
                else:
                    if matches(i, j):
                        f[i][j] |= f[i - 1][j - 1]
        return f[m][n]
[sol1-Golang]
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func isMatch(s string, p string) bool {
    m, n := len(s), len(p)
    matches := func(i, j int) bool {
        if i == 0 {
            return false
        }
        if p[j-1] == '.' {
            return true
        }
        return s[i-1] == p[j-1]
    }

    f := make([][]bool, m + 1)
    for i := 0; i < len(f); i++ {
        f[i] = make([]bool, n + 1)
    }
    f[0][0] = true
    for i := 0; i <= m; i++ {
        for j := 1; j <= n; j++ {
            if p[j-1] == '*' {
                f[i][j] = f[i][j] || f[i][j-2]
                if matches(i, j - 1) {
                    f[i][j] = f[i][j] || f[i-1][j]
                }
            } else if matches(i, j) {
                f[i][j] = f[i][j] || f[i-1][j-1]
            }
        }
    }
    return f[m][n]
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(mn)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别是字符串 $s$ 和 $p$ 的长度。我们需要计算出所有的状态，并且每个状态在进行转移时的时间复杂度为 $O(1)$。

  • 空间复杂度：$O(mn)$，即为存储所有状态使用的空间。

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