0012-整数转罗马数字

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 10:40:29 2023-09-13 10:40:29 Updated    

罗马数字包含以下七种字符： I， V， X， L，C，D 和 M。

**字符**          **数值**
I             1
V             5
X             10
L             50
C             100
D             500
M             1000

例如， 罗马数字 2 写做 II ，即为两个并列的 1。12 写做 XII ，即为 X + II 。 27 写做 XXVII, 即为
XX + V + II 。

通常情况下，罗马数字中小的数字在大的数字的右边。但也存在特例，例如 4 不写做 IIII，而是 IV。数字 1 在数字 5
的左边，所表示的数等于大数 5 减小数 1 得到的数值 4 。同样地，数字 9 表示为 IX。这个特殊的规则只适用于以下六种情况：

  • I 可以放在 V (5) 和 X (10) 的左边，来表示 4 和 9。
  • X 可以放在 L (50) 和 C (100) 的左边，来表示 40 和 90。
  • C 可以放在 D (500) 和 M (1000) 的左边，来表示 400 和 900。

给你一个整数，将其转为罗马数字。

示例 1:

**输入:** num = 3
**输出:** "III"

示例 2:

**输入:** num = 4
**输出:** "IV"

示例 3:

**输入:** num = 9
**输出:** "IX"

示例 4:

**输入:** num = 58
**输出:** "LVIII"
**解释:** L = 50, V = 5, III = 3.

示例 5:

**输入:** num = 1994
**输出:** "MCMXCIV"
**解释:** M = 1000, CM = 900, XC = 90, IV = 4.

提示：

  • 1 <= num <= 3999

前言

罗马数字符号

罗马数字由 $7$ 个不同的单字母符号组成，每个符号对应一个具体的数值。此外，减法规则（如问题描述中所述）给出了额外的 $6$ 个复合符号。这给了我们总共 $13$ 个独特的符号（每个符号由 $1$ 个或 $2$ 个字母组成），如下图所示。

fig1

罗马数字的唯一表示法

让我们从一个例子入手。考虑 $140$ 的罗马数字表示，下面哪一个是正确的？

fig2

我们用来确定罗马数字的规则是：对于罗马数字从左到右的每一位，选择尽可能大的符号值。对于 $140$，最大可以选择的符号值为 $\texttt{C}=100$。接下来，对于剩余的数字 $40$，最大可以选择的符号值为 $\texttt{XL}=40$。因此，$140$ 的对应的罗马数字为 $\texttt{C}+\texttt{XL}=\texttt{CXL}$。

方法一：模拟

思路

根据罗马数字的唯一表示法，为了表示一个给定的整数 $\textit{num}$，我们寻找不超过 $\textit{num}$ 的最大符号值，将 $\textit{num}$ 减去该符号值，然后继续寻找不超过 $\textit{num}$ 的最大符号值，将该符号拼接在上一个找到的符号之后，循环直至 $\textit{num}$ 为 $0$。最后得到的字符串即为 $\textit{num}$ 的罗马数字表示。

编程时，可以建立一个数值-符号对的列表 $\textit{valueSymbols}$，按数值从大到小排列。遍历 $\textit{valueSymbols}$ 中的每个数值-符号对，若当前数值 $\textit{value}$ 不超过 $\textit{num}$，则从 $\textit{num}$ 中不断减去 $\textit{value}$，直至 $\textit{num}$ 小于 $\textit{value}$，然后遍历下一个数值-符号对。若遍历中 $\textit{num}$ 为 $0$ 则跳出循环。

代码

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const pair<int, string> valueSymbols[] = {
    {1000, "M"},
    {900,  "CM"},
    {500,  "D"},
    {400,  "CD"},
    {100,  "C"},
    {90,   "XC"},
    {50,   "L"},
    {40,   "XL"},
    {10,   "X"},
    {9,    "IX"},
    {5,    "V"},
    {4,    "IV"},
    {1,    "I"},
};

class Solution {
public:
    string intToRoman(int num) {
        string roman;
        for (const auto &[value, symbol] : valueSymbols) {
            while (num >= value) {
                num -= value;
                roman += symbol;
            }
            if (num == 0) {
                break;
            }
        }
        return roman;
    }
};
[sol1-Java]
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class Solution {
    int[] values = {1000, 900, 500, 400, 100, 90, 50, 40, 10, 9, 5, 4, 1};
    String[] symbols = {"M", "CM", "D", "CD", "C", "XC", "L", "XL", "X", "IX", "V", "IV", "I"};

    public String intToRoman(int num) {
        StringBuffer roman = new StringBuffer();
        for (int i = 0; i < values.length; ++i) {
            int value = values[i];
            String symbol = symbols[i];
            while (num >= value) {
                num -= value;
                roman.append(symbol);
            }
            if (num == 0) {
                break;
            }
        }
        return roman.toString();
    }
}
[sol1-C#]
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public class Solution {
    readonly Tuple<int, string>[] valueSymbols = {
        new Tuple<int, string>(1000, "M"),
        new Tuple<int, string>(900, "CM"),
        new Tuple<int, string>(500, "D"),
        new Tuple<int, string>(400, "CD"),
        new Tuple<int, string>(100, "C"),
        new Tuple<int, string>(90, "XC"),
        new Tuple<int, string>(50, "L"),
        new Tuple<int, string>(40, "XL"),
        new Tuple<int, string>(10, "X"),
        new Tuple<int, string>(9, "IX"),
        new Tuple<int, string>(5, "V"),
        new Tuple<int, string>(4, "IV"),
        new Tuple<int, string>(1, "I")
    };

    public string IntToRoman(int num) {
        StringBuilder roman = new StringBuilder();
        foreach (Tuple<int, string> tuple in valueSymbols) {
            int value = tuple.Item1;
            string symbol = tuple.Item2;
            while (num >= value) {
                num -= value;
                roman.Append(symbol);
            }
            if (num == 0) {
                break;
            }
        }
        return roman.ToString();
    }
}
[sol1-Golang]
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var valueSymbols = []struct {
    value  int
    symbol string
}{
    {1000, "M"},
    {900, "CM"},
    {500, "D"},
    {400, "CD"},
    {100, "C"},
    {90, "XC"},
    {50, "L"},
    {40, "XL"},
    {10, "X"},
    {9, "IX"},
    {5, "V"},
    {4, "IV"},
    {1, "I"},
}

func intToRoman(num int) string {
    roman := []byte{}
    for _, vs := range valueSymbols {
        for num >= vs.value {
            num -= vs.value
            roman = append(roman, vs.symbol...)
        }
        if num == 0 {
            break
        }
    }
    return string(roman)
}
[sol1-JavaScript]
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var intToRoman = function(num) {
    const valueSymbols = [[1000, "M"], [900, "CM"], [500, "D"], [400, "CD"], [100, "C"], [90, "XC"], [50, "L"], [40, "XL"], [10, "X"], [9, "IX"], [5, "V"], [4, "IV"], [1, "I"]];
    const roman = [];
    for (const [value, symbol] of valueSymbols) {
        while (num >= value) {
            num -= value;
            roman.push(symbol);
        }
        if (num == 0) {
            break;
        }
    }
    return roman.join('');
};
[sol1-Python3]
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class Solution:

    VALUE_SYMBOLS = [
        (1000, "M"),
        (900, "CM"),
        (500, "D"),
        (400, "CD"),
        (100, "C"),
        (90, "XC"),
        (50, "L"),
        (40, "XL"),
        (10, "X"),
        (9, "IX"),
        (5, "V"),
        (4, "IV"),
        (1, "I"),
    ]

    def intToRoman(self, num: int) -> str:
        roman = list()
        for value, symbol in Solution.VALUE_SYMBOLS:
            while num >= value:
                num -= value
                roman.append(symbol)
            if num == 0:
                break
        return "".join(roman)
[sol1-C]
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const int values[] = {1000, 900, 500, 400, 100, 90, 50, 40, 10, 9, 5, 4, 1};
const char* symbols[] = {"M", "CM", "D", "CD", "C", "XC", "L", "XL", "X", "IX", "V", "IV", "I"};

char* intToRoman(int num) {
    char* roman = malloc(sizeof(char) * 16);
    roman[0] = '\0';
    for (int i = 0; i < 13; i++) {
        while (num >= values[i]) {
            num -= values[i];
            strcpy(roman + strlen(roman), symbols[i]);
        }
        if (num == 0) {
            break;
        }
    }
    return roman;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(1)$。由于 $\textit{valueSymbols}$ 长度是固定的，且这 $13$ 字符中的每个字符的出现次数均不会超过 $3$，因此循环次数有一个确定的上限。对于本题给出的数据范围，循环次数不会超过 $15$ 次。

  • 空间复杂度：$O(1)$。

方法二：硬编码数字

思路

fig3

回顾前言中列出的这 $13$ 个符号，可以发现：

  • 千位数字只能由 $\texttt{M}$ 表示；
  • 百位数字只能由 $\texttt{C}$，$\texttt{CD}$，$\texttt{D}$ 和 $\texttt{CM}$ 表示；
  • 十位数字只能由 $\texttt{X}$，$\texttt{XL}$，$\texttt{L}$ 和 $\texttt{XC}$ 表示；
  • 个位数字只能由 $\texttt{I}$，$\texttt{IV}$，$\texttt{V}$ 和 $\texttt{IX}$ 表示。

这恰好把这 $13$ 个符号分为四组，且组与组之间没有公共的符号。因此，整数 $\textit{num}$ 的十进制表示中的每一个数字都是可以单独处理的。

进一步地，我们可以计算出每个数字在每个位上的表示形式，整理成一张硬编码表。如下图所示，其中 $0$ 对应的是空字符串。

fig4

利用模运算和除法运算，我们可以得到 $\textit{num}$ 每个位上的数字：

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thousands_digit = num / 1000
hundreds_digit = (num % 1000) / 100
tens_digit = (num % 100) / 10
ones_digit = num % 10

最后，根据 $\textit{num}$ 每个位上的数字，在硬编码表中查找对应的罗马字符，并将结果拼接在一起，即为 $\textit{num}$ 对应的罗马数字。

代码

[sol2-C++]
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const string thousands[] = {"", "M", "MM", "MMM"};
const string hundreds[]  = {"", "C", "CC", "CCC", "CD", "D", "DC", "DCC", "DCCC", "CM"};
const string tens[]      = {"", "X", "XX", "XXX", "XL", "L", "LX", "LXX", "LXXX", "XC"};
const string ones[]      = {"", "I", "II", "III", "IV", "V", "VI", "VII", "VIII", "IX"};

class Solution {
public:
    string intToRoman(int num) {
        return thousands[num / 1000] + hundreds[num % 1000 / 100] + tens[num % 100 / 10] + ones[num % 10];
    }
};
[sol2-Java]
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class Solution {
    String[] thousands = {"", "M", "MM", "MMM"};
    String[] hundreds  = {"", "C", "CC", "CCC", "CD", "D", "DC", "DCC", "DCCC", "CM"};
    String[] tens      = {"", "X", "XX", "XXX", "XL", "L", "LX", "LXX", "LXXX", "XC"};
    String[] ones      = {"", "I", "II", "III", "IV", "V", "VI", "VII", "VIII", "IX"};

    public String intToRoman(int num) {
        StringBuffer roman = new StringBuffer();
        roman.append(thousands[num / 1000]);
        roman.append(hundreds[num % 1000 / 100]);
        roman.append(tens[num % 100 / 10]);
        roman.append(ones[num % 10]);
        return roman.toString();
    }
}
[sol2-C#]
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public class Solution {
    readonly string[] thousands = {"", "M", "MM", "MMM"};
    readonly string[] hundreds  = {"", "C", "CC", "CCC", "CD", "D", "DC", "DCC", "DCCC", "CM"};
    readonly string[] tens      = {"", "X", "XX", "XXX", "XL", "L", "LX", "LXX", "LXXX", "XC"};
    readonly string[] ones      = {"", "I", "II", "III", "IV", "V", "VI", "VII", "VIII", "IX"};

    public string IntToRoman(int num) {
        StringBuilder roman = new StringBuilder();
        roman.Append(thousands[num / 1000]);
        roman.Append(hundreds[num % 1000 / 100]);
        roman.Append(tens[num % 100 / 10]);
        roman.Append(ones[num % 10]);
        return roman.ToString();
    }
}
[sol2-Golang]
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var (
    thousands = []string{"", "M", "MM", "MMM"}
    hundreds  = []string{"", "C", "CC", "CCC", "CD", "D", "DC", "DCC", "DCCC", "CM"}
    tens      = []string{"", "X", "XX", "XXX", "XL", "L", "LX", "LXX", "LXXX", "XC"}
    ones      = []string{"", "I", "II", "III", "IV", "V", "VI", "VII", "VIII", "IX"}
)

func intToRoman(num int) string {
    return thousands[num/1000] + hundreds[num%1000/100] + tens[num%100/10] + ones[num%10]
}
[sol2-JavaScript]
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var intToRoman = function(num) {
    const thousands = ["", "M", "MM", "MMM"];
    const hundreds = ["", "C", "CC", "CCC", "CD", "D", "DC", "DCC", "DCCC", "CM"];
    const tens     = ["", "X", "XX", "XXX", "XL", "L", "LX", "LXX", "LXXX", "XC"];
    const ones     = ["", "I", "II", "III", "IV", "V", "VI", "VII", "VIII", "IX"];

    const roman = [];
    roman.push(thousands[Math.floor(num / 1000)]);
    roman.push(hundreds[Math.floor(num % 1000 / 100)]);
    roman.push(tens[Math.floor(num % 100 / 10)]);
    roman.push(ones[num % 10]);
    return roman.join('');
};
[sol2-Python3]
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class Solution:

    THOUSANDS = ["", "M", "MM", "MMM"]
    HUNDREDS = ["", "C", "CC", "CCC", "CD", "D", "DC", "DCC", "DCCC", "CM"]
    TENS = ["", "X", "XX", "XXX", "XL", "L", "LX", "LXX", "LXXX", "XC"]
    ONES = ["", "I", "II", "III", "IV", "V", "VI", "VII", "VIII", "IX"]

    def intToRoman(self, num: int) -> str:
        return Solution.THOUSANDS[num // 1000] + \
            Solution.HUNDREDS[num % 1000 // 100] + \
            Solution.TENS[num % 100 // 10] + \
            Solution.ONES[num % 10]
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const char* thousands[] = {"", "M", "MM", "MMM"};
const char* hundreds[] = {"", "C", "CC", "CCC", "CD", "D", "DC", "DCC", "DCCC", "CM"};
const char* tens[] = {"", "X", "XX", "XXX", "XL", "L", "LX", "LXX", "LXXX", "XC"};
const char* ones[] = {"", "I", "II", "III", "IV", "V", "VI", "VII", "VIII", "IX"};

char* intToRoman(int num) {
    char* roman = malloc(sizeof(char) * 16);
    roman[0] = '\0';
    strcpy(roman + strlen(roman), thousands[num / 1000]);
    strcpy(roman + strlen(roman), hundreds[num % 1000 / 100]);
    strcpy(roman + strlen(roman), tens[num % 100 / 10]);
    strcpy(roman + strlen(roman), ones[num % 10]);
    return roman;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(1)$。计算量与输入数字的大小无关。

  • 空间复杂度：$O(1)$。

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