0036-有效的数独

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 10:40:58 2023-09-13 10:40:58 Updated    

请你判断一个 9 x 9 的数独是否有效。只需要 根据以下规则 ，验证已经填入的数字是否有效即可。

  1. 数字 1-9 在每一行只能出现一次。
  2. 数字 1-9 在每一列只能出现一次。
  3. 数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）

注意：

  • 一个有效的数独（部分已被填充）不一定是可解的。
  • 只需要根据以上规则，验证已经填入的数字是否有效即可。
  • 空白格用 '.' 表示。

示例 1：

![](https://assets.leetcode-cn.com/aliyun-lc-upload/uploads/2021/04/12/250px-
sudoku-by-l2g-20050714svg.png)

**输入：** board = 
[["5","3",".",".","7",".",".",".","."]
,["6",".",".","1","9","5",".",".","."]
,[".","9","8",".",".",".",".","6","."]
,["8",".",".",".","6",".",".",".","3"]
,["4",".",".","8",".","3",".",".","1"]
,["7",".",".",".","2",".",".",".","6"]
,[".","6",".",".",".",".","2","8","."]
,[".",".",".","4","1","9",".",".","5"]
,[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
**输出：** true

示例 2：

**输入：** board = 
[["8","3",".",".","7",".",".",".","."]
,["6",".",".","1","9","5",".",".","."]
,[".","9","8",".",".",".",".","6","."]
,["8",".",".",".","6",".",".",".","3"]
,["4",".",".","8",".","3",".",".","1"]
,["7",".",".",".","2",".",".",".","6"]
,[".","6",".",".",".",".","2","8","."]
,[".",".",".","4","1","9",".",".","5"]
,[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
**输出：** false
**解释：** 除了第一行的第一个数字从 **5** 改为 **8** 以外，空格内其他数字均与 示例1 相同。 但由于位于左上角的 3x3 宫内有两个 8 存在, 因此这个数独是无效的。

提示：

  • board.length == 9
  • board[i].length == 9
  • board[i][j] 是一位数字（1-9）或者 '.'

方法一：一次遍历

有效的数独满足以下三个条件：

  • 同一个数字在每一行只能出现一次；

  • 同一个数字在每一列只能出现一次；

  • 同一个数字在每一个小九宫格只能出现一次。

可以使用哈希表记录每一行、每一列和每一个小九宫格中，每个数字出现的次数。只需要遍历数独一次，在遍历的过程中更新哈希表中的计数，并判断是否满足有效的数独的条件即可。

对于数独的第 $i$ 行第 $j$ 列的单元格，其中 $0 \le i, j < 9$，该单元格所在的行下标和列下标分别为 $i$ 和 $j$，该单元格所在的小九宫格的行数和列数分别为 $\Big\lfloor \dfrac{i}{3} \Big\rfloor$ 和 $\Big\lfloor \dfrac{j}{3} \Big\rfloor$，其中 $0 \le \Big\lfloor \dfrac{i}{3} \Big\rfloor, \Big\lfloor \dfrac{j}{3} \Big\rfloor < 3$。

由于数独中的数字范围是 $1$ 到 $9$，因此可以使用数组代替哈希表进行计数。

具体做法是，创建二维数组 $\textit{rows}$ 和 $\textit{columns}$ 分别记录数独的每一行和每一列中的每个数字的出现次数，创建三维数组 $\textit{subboxes}$ 记录数独的每一个小九宫格中的每个数字的出现次数，其中 $\textit{rows}[i][\textit{index}]$、$\textit{columns}[j][\textit{index}]$ 和 $\textit{subboxes}\Big[\Big\lfloor \dfrac{i}{3} \Big\rfloor\Big]\Big[\Big\lfloor \dfrac{j}{3} \Big\rfloor\Big]\Big[\textit{index}\Big]$ 分别表示数独的第 $i$ 行第 $j$ 列的单元格所在的行、列和小九宫格中，数字 $\textit{index} + 1$ 出现的次数，其中 $0 \le \textit{index} < 9$，对应的数字 $\textit{index} + 1$ 满足 $1 \le \textit{index} + 1 \le 9$。

如果 $\textit{board}[i][j]$ 填入了数字 $n$，则将 $\textit{rows}[i][n - 1]$、$\textit{columns}[j][n - 1]$ 和 $\textit{subboxes}\Big[\Big\lfloor \dfrac{i}{3} \Big\rfloor\Big]\Big[\Big\lfloor \dfrac{j}{3} \Big\rfloor\Big]\Big[n - 1\Big]$ 各加 $1$。如果更新后的计数大于 $1$，则不符合有效的数独的条件，返回 $\text{false}$。

如果遍历结束之后没有出现计数大于 $1$ 的情况，则符合有效的数独的条件，返回 $\text{true}$。

[sol1-Java]
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class Solution {
    public boolean isValidSudoku(char[][] board) {
        int[][] rows = new int[9][9];
        int[][] columns = new int[9][9];
        int[][][] subboxes = new int[3][3][9];
        for (int i = 0; i < 9; i++) {
            for (int j = 0; j < 9; j++) {
                char c = board[i][j];
                if (c != '.') {
                    int index = c - '0' - 1;
                    rows[i][index]++;
                    columns[j][index]++;
                    subboxes[i / 3][j / 3][index]++;
                    if (rows[i][index] > 1 || columns[j][index] > 1 || subboxes[i / 3][j / 3][index] > 1) {
                        return false;
                    }
                }
            }
        }
        return true;
    }
}
[sol1-C#]
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public class Solution {
    public bool IsValidSudoku(char[][] board) {
        int[,] rows = new int[9, 9];
        int[,] columns = new int[9, 9];
        int[,,] subboxes = new int[3, 3, 9];
        for (int i = 0; i < 9; i++) {
            for (int j = 0; j < 9; j++) {
                char c = board[i][j];
                if (c != '.') {
                    int index = c - '0' - 1;
                    rows[i, index]++;
                    columns[j, index]++;
                    subboxes[i / 3, j / 3, index]++;
                    if (rows[i, index] > 1 || columns[j, index] > 1 || subboxes[i / 3, j / 3, index] > 1) {
                        return false;
                    }
                }
            }
        }
        return true;
    }
}
[sol1-JavaScript]
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var isValidSudoku = function(board) {
    const rows = new Array(9).fill(0).map(() => new Array(9).fill(0));
    const columns = new Array(9).fill(0).map(() => new Array(9).fill(0));
    const subboxes = new Array(3).fill(0).map(() => new Array(3).fill(0).map(() => new Array(9).fill(0)));
    for (let i = 0; i < 9; i++) {
        for (let j = 0; j < 9; j++) {
            const c = board[i][j];
            if (c !== '.') {
                const index = c.charCodeAt() - '0'.charCodeAt() - 1;
                rows[i][index]++;
                columns[j][index]++;
                subboxes[Math.floor(i / 3)][Math.floor(j / 3)][index]++;
                if (rows[i][index] > 1 || columns[j][index] > 1 || subboxes[Math.floor(i / 3)][Math.floor(j / 3)][index] > 1) {
                    return false;
                }
            }
        }
    }
    return true;
};
[sol1-C++]
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class Solution {
public:
    bool isValidSudoku(vector<vector<char>>& board) {
        int rows[9][9];
        int columns[9][9];
        int subboxes[3][3][9];
        
        memset(rows,0,sizeof(rows));
        memset(columns,0,sizeof(columns));
        memset(subboxes,0,sizeof(subboxes));
        for (int i = 0; i < 9; i++) {
            for (int j = 0; j < 9; j++) {
                char c = board[i][j];
                if (c != '.') {
                    int index = c - '0' - 1;
                    rows[i][index]++;
                    columns[j][index]++;
                    subboxes[i / 3][j / 3][index]++;
                    if (rows[i][index] > 1 || columns[j][index] > 1 || subboxes[i / 3][j / 3][index] > 1) {
                        return false;
                    }
                }
            }
        }
        return true;
    }
};
[sol1-Golang]
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func isValidSudoku(board [][]byte) bool {
    var rows, columns [9][9]int
    var subboxes [3][3][9]int
    for i, row := range board {
        for j, c := range row {
            if c == '.' {
                continue
            }
            index := c - '1'
            rows[i][index]++
            columns[j][index]++
            subboxes[i/3][j/3][index]++
            if rows[i][index] > 1 || columns[j][index] > 1 || subboxes[i/3][j/3][index] > 1 {
                return false
            }
        }
    }
    return true
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(1)$。数独共有 $81$ 个单元格，只需要对每个单元格遍历一次即可。

  • 空间复杂度：$O(1)$。由于数独的大小固定，因此哈希表的空间也是固定的。

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