0057-插入区间

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 10:41:23 2023-09-13 10:41:23 Updated    

给你一个 无重叠的 ， 按照区间起始端点排序的区间列表。

在列表中插入一个新的区间，你需要确保列表中的区间仍然有序且不重叠（如果有必要的话，可以合并区间）。

示例 1：

**输入：** intervals = [[1,3],[6,9]], newInterval = [2,5]
**输出：** [[1,5],[6,9]]

示例 2：

**输入：** intervals = [[1,2],[3,5],[6,7],[8,10],[12,16]], newInterval = [4,8]
**输出：** [[1,2],[3,10],[12,16]]
**解释：** 这是因为新的区间 [4,8] 与 [3,5],[6,7],[8,10] 重叠。

示例 3：

**输入：** intervals = [], newInterval = [5,7]
**输出：** [[5,7]]

示例 4：

**输入：** intervals = [[1,5]], newInterval = [2,3]
**输出：** [[1,5]]

示例 5：

**输入：** intervals = [[1,5]], newInterval = [2,7]
**输出：** [[1,7]]

提示：

  • 0 <= intervals.length <= 104
  • intervals[i].length == 2
  • 0 <= intervals[i][0] <= intervals[i][1] <= 105
  • intervals 根据 intervals[i][0] 按 升序 排列
  • newInterval.length == 2
  • 0 <= newInterval[0] <= newInterval[1] <= 105

前言

对于区间 $S_1 = [l_1, r_1]$ 和 $S_2 = [l_2, r_2]$，如果它们之间没有重叠（没有交集），说明要么 $S_1$ 在 $S_2$ 的左侧，此时有 $r_1 < l_2$；要么 $S_1$ 在 $S_2$ 的右侧，此时有 $l_1 > r_2$。

如果 $r_1 < l_2$ 和 $l_1 > r_2$ 二者均不满足，说明 $S_1$ 和 $S_2$ 必定有交集，它们的交集即为
$$
[\max(l_1, l_2), \min(r_1, r_2)]
$$

并集即为

$$
[\min(l_1, l_2), \max(r_1, r_2)]
$$

方法一：模拟

思路与算法

在给定的区间集合 $\mathcal{X}$ 互不重叠的前提下，当我们需要插入一个新的区间 $S = [\textit{left}, \textit{right}]$ 时，我们只需要：

  • 找出所有与区间 $S$ 重叠的区间集合 $\mathcal{X}’$；
  • 将 $\mathcal{X}’$ 中的所有区间连带上区间 $S$ 合并成一个大区间；
  • 最终的答案即为不与 $\mathcal{X}’$ 重叠的区间以及合并后的大区间。

fig1

这样做的正确性在于，给定的区间集合中任意两个区间都是没有交集的，因此所有需要合并的区间，就是所有与区间 $S$ 重叠的区间。

并且，在给定的区间集合已经按照左端点排序的前提下，所有与区间 $S$ 重叠的区间在数组 $\textit{intervals}$ 中下标范围是连续的，因此我们可以对所有的区间进行一次遍历，就可以找到这个连续的下标范围。

当我们遍历到区间 $[l_i, r_i]$ 时：

  • 如果 $r_i < \textit{left}$，说明 $[l_i, r_i]$ 与 $S$ 不重叠并且在其左侧，我们可以直接将 $[l_i, r_i]$ 加入答案；

  • 如果 $l_i > \textit{right}$，说明 $[l_i, r_i]$ 与 $S$ 不重叠并且在其右侧，我们可以直接将 $[l_i, r_i]$ 加入答案；

  • 如果上面两种情况均不满足，说明 $[l_i, r_i]$ 与 $S$ 重叠，我们无需将 $[l_i, r_i]$ 加入答案。此时，我们需要将 $S$ 与 $[l_i, r_i]$ 合并，即将 $S$ 更新为其与 $[l_i, r_i]$ 的并集。

那么我们应当在什么时候将区间 $S$ 加入答案呢？由于我们需要保证答案也是按照左端点排序的，因此当我们遇到第一个 满足 $l_i > \textit{right}$ 的区间时，说明以后遍历到的区间不会与 $S$ 重叠，并且它们左端点一定会大于 $S$ 的左端点。此时我们就可以将 $S$ 加入答案。特别地，如果不存在这样的区间，我们需要在遍历结束后，将 $S$ 加入答案。

代码

[sol1-C++]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
class Solution {
public:
    vector<vector<int>> insert(vector<vector<int>>& intervals, vector<int>& newInterval) {
        int left = newInterval[0];
        int right = newInterval[1];
        bool placed = false;
        vector<vector<int>> ans;
        for (const auto& interval: intervals) {
            if (interval[0] > right) {
                // 在插入区间的右侧且无交集
                if (!placed) {
                    ans.push_back({left, right});
                    placed = true;                    
                }
                ans.push_back(interval);
            }
            else if (interval[1] < left) {
                // 在插入区间的左侧且无交集
                ans.push_back(interval);
            }
            else {
                // 与插入区间有交集，计算它们的并集
                left = min(left, interval[0]);
                right = max(right, interval[1]);
            }
        }
        if (!placed) {
            ans.push_back({left, right});
        }
        return ans;
    }
};
[sol1-Java]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
class Solution {
    public int[][] insert(int[][] intervals, int[] newInterval) {
        int left = newInterval[0];
        int right = newInterval[1];
        boolean placed = false;
        List<int[]> ansList = new ArrayList<int[]>();
        for (int[] interval : intervals) {
            if (interval[0] > right) {
                // 在插入区间的右侧且无交集
                if (!placed) {
                    ansList.add(new int[]{left, right});
                    placed = true;                    
                }
                ansList.add(interval);
            } else if (interval[1] < left) {
                // 在插入区间的左侧且无交集
                ansList.add(interval);
            } else {
                // 与插入区间有交集，计算它们的并集
                left = Math.min(left, interval[0]);
                right = Math.max(right, interval[1]);
            }
        }
        if (!placed) {
            ansList.add(new int[]{left, right});
        }
        int[][] ans = new int[ansList.size()][2];
        for (int i = 0; i < ansList.size(); ++i) {
            ans[i] = ansList.get(i);
        }
        return ans;
    }
}
[sol1-Python3]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
class Solution:
    def insert(self, intervals: List[List[int]], newInterval: List[int]) -> List[List[int]]:
        left, right = newInterval
        placed = False
        ans = list()
        for li, ri in intervals:
            if li > right:
                # 在插入区间的右侧且无交集
                if not placed:
                    ans.append([left, right])
                    placed = True
                ans.append([li, ri])
            elif ri < left:
                # 在插入区间的左侧且无交集
                ans.append([li, ri])
            else:
                # 与插入区间有交集，计算它们的并集
                left = min(left, li)
                right = max(right, ri)
        
        if not placed:
            ans.append([left, right])
        return ans
[sol1-Golang]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
func insert(intervals [][]int, newInterval []int) (ans [][]int) {
    left, right := newInterval[0], newInterval[1]
    merged := false
    for _, interval := range intervals {
        if interval[0] > right {
            // 在插入区间的右侧且无交集
            if !merged {
                ans = append(ans, []int{left, right})
                merged = true
            }
            ans = append(ans, interval)
        } else if interval[1] < left {
            // 在插入区间的左侧且无交集
            ans = append(ans, interval)
        } else {
            // 与插入区间有交集，计算它们的并集
            left = min(left, interval[0])
            right = max(right, interval[1])
        }
    }
    if !merged {
        ans = append(ans, []int{left, right})
    }
    return
}

func min(a, b int) int {
    if a < b {
        return a
    }
    return b
}

func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}
[sol1-C]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
int** insert(int** intervals, int intervalsSize, int* intervalsColSize, int* newInterval, int newIntervalSize, int* returnSize, int** returnColumnSizes) {
    *returnSize = 0;
    int left = newInterval[0];
    int right = newInterval[1];
    bool placed = false;
    int** ans = malloc(sizeof(int*) * (intervalsSize + 1));
    *returnColumnSizes = malloc(sizeof(int*) * (intervalsSize + 1));
    for (int i = 0; i < intervalsSize; ++i) {
        int* interval = intervals[i];
        if (interval[0] > right) {
            // 在插入区间的右侧且无交集
            if (!placed) {
                int* tmp = malloc(sizeof(int) * 2);
                tmp[0] = left, tmp[1] = right;
                (*returnColumnSizes)[*returnSize] = 2;
                ans[(*returnSize)++] = tmp;
                placed = true;
            }
            int* tmp = malloc(sizeof(int) * 2);
            memcpy(tmp, interval, sizeof(int) * 2);
            (*returnColumnSizes)[*returnSize] = 2;
            ans[(*returnSize)++] = tmp;
        } else if (interval[1] < left) {
            // 在插入区间的左侧且无交集
            int* tmp = malloc(sizeof(int) * 2);
            memcpy(tmp, interval, sizeof(int) * 2);
            (*returnColumnSizes)[*returnSize] = 2;
            ans[(*returnSize)++] = tmp;
        } else {
            // 与插入区间有交集，计算它们的并集
            left = fmin(left, interval[0]);
            right = fmax(right, interval[1]);
        }
    }
    if (!placed) {
        int* tmp = malloc(sizeof(int) * 2);
        tmp[0] = left, tmp[1] = right;
        (*returnColumnSizes)[*returnSize] = 2;
        ans[(*returnSize)++] = tmp;
    }
    return ans;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组 $\textit{intervals}$ 的长度，即给定的区间个数。

  • 空间复杂度：$O(1)$。除了存储返回答案的空间以外，我们只需要额外的常数空间即可。

 Comments
On this page
0057-插入区间