0091-解码方法

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 10:42:02 2023-09-13 10:42:02 Updated    

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码 ：

'A' -> "1"
'B' -> "2"
...
'Z' -> "26"

要 解码 已编码的消息，所有数字必须基于上述映射的方法，反向映射回字母（可能有多种方法）。例如，"11106" 可以映射为：

  • "AAJF" ，将消息分组为 (1 1 10 6)
  • "KJF" ，将消息分组为 (11 10 6)

注意，消息不能分组为 (1 11 06) ，因为 "06" 不能映射为 "F" ，这是由于 "6" 和 "06" 在映射中并不等价。

给你一个只含数字的 非空 字符串 s ，请计算并返回 解码 方法的 总数 。

题目数据保证答案肯定是一个 32 位 的整数。

示例 1：

**输入：** s = "12"
**输出：** 2
**解释：** 它可以解码为 "AB"（1 2）或者 "L"（12）。

示例 2：

**输入：** s = "226"
**输出：** 3
**解释：** 它可以解码为 "BZ" (2 26), "VF" (22 6), 或者 "BBF" (2 2 6) 。

示例 3：

**输入：** s = "06"
**输出：** 0
**解释：** "06" 无法映射到 "F" ，因为存在前导零（"6" 和 "06" 并不等价）。

提示：

  • 1 <= s.length <= 100
  • s 只包含数字，并且可能包含前导零。

方法一：动态规划

思路与算法

对于给定的字符串 $s$，设它的长度为 $n$，其中的字符从左到右依次为 $s[1], s[2], \cdots, s[n]$。我们可以使用动态规划的方法计算出字符串 $s$ 的解码方法数。

具体地，设 $f_i$ 表示字符串 $s$ 的前 $i$ 个字符 $s[1..i]$ 的解码方法数。在进行状态转移时，我们可以考虑最后一次解码使用了 $s$ 中的哪些字符，那么会有下面的两种情况：

  • 第一种情况是我们使用了一个字符，即 $s[i]$ 进行解码，那么只要 $s[i] \neq 0$，它就可以被解码成 $\text{A} \sim \text{I}$ 中的某个字母。由于剩余的前 $i-1$ 个字符的解码方法数为 $f_{i-1}$，因此我们可以写出状态转移方程：

    $$
    f_i = f_{i-1}, \quad 其中 ~ s[i] \neq 0
    $$

  • 第二种情况是我们使用了两个字符，即 $s[i-1]$ 和 $s[i]$ 进行编码。与第一种情况类似，$s[i-1]$ 不能等于 $0$，并且 $s[i-1]$ 和 $s[i]$ 组成的整数必须小于等于 $26$，这样它们就可以被解码成 $\text{J} \sim \text{Z}$ 中的某个字母。由于剩余的前 $i-2$ 个字符的解码方法数为 $f_{i-2}$，因此我们可以写出状态转移方程：

    $$
    f_i = f_{i-2}, \quad 其中 ~ s[i-1] \neq 0 并且 10\cdot s[i-1]+s[i] \leq 26
    $$

    需要注意的是，只有当 $i>1$ 时才能进行转移，否则 $s[i-1]$ 不存在。

将上面的两种状态转移方程在对应的条件满足时进行累加，即可得到 $f_i$ 的值。在动态规划完成后，最终的答案即为 $f_n$。

细节

动态规划的边界条件为：

$$
f_0 = 1
$$

即空字符串可以有 $1$ 种解码方法，解码出一个空字符串。

同时，由于在大部分语言中，字符串的下标是从 $0$ 而不是 $1$ 开始的，因此在代码的编写过程中，我们需要将所有字符串的下标减去 $1$，与使用的语言保持一致。

代码

[sol11-C++]
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class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
        int n = s.size();
        vector<int> f(n + 1);
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (s[i - 1] != '0') {
                f[i] += f[i - 1];
            }
            if (i > 1 && s[i - 2] != '0' && ((s[i - 2] - '0') * 10 + (s[i - 1] - '0') <= 26)) {
                f[i] += f[i - 2];
            }
        }
        return f[n];
    }
};
[sol11-Java]
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class Solution {
    public int numDecodings(String s) {
        int n = s.length();
        int[] f = new int[n + 1];
        f[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            if (s.charAt(i - 1) != '0') {
                f[i] += f[i - 1];
            }
            if (i > 1 && s.charAt(i - 2) != '0' && ((s.charAt(i - 2) - '0') * 10 + (s.charAt(i - 1) - '0') <= 26)) {
                f[i] += f[i - 2];
            }
        }
        return f[n];
    }
}
[sol11-Python3]
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class Solution:
    def numDecodings(self, s: str) -> int:
        n = len(s)
        f = [1] + [0] * n
        for i in range(1, n + 1):
            if s[i - 1] != '0':
                f[i] += f[i - 1]
            if i > 1 and s[i - 2] != '0' and int(s[i-2:i]) <= 26:
                f[i] += f[i - 2]
        return f[n]
[sol11-JavaScript]
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var numDecodings = function(s) {
    const n = s.length;
    const f = new Array(n + 1).fill(0);
    f[0] = 1;
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        if (s[i - 1] !== '0') {
            f[i] += f[i - 1];
        }
        if (i > 1 && s[i - 2] != '0' && ((s[i - 2] - '0') * 10 + (s[i - 1] - '0') <= 26)) {
            f[i] += f[i - 2];
        }
    }
    return f[n];
};
[sol11-Golang]
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func numDecodings(s string) int {
    n := len(s)
    f := make([]int, n+1)
    f[0] = 1
    for i := 1; i <= n; i++ {
        if s[i-1] != '0' {
            f[i] += f[i-1]
        }
        if i > 1 && s[i-2] != '0' && ((s[i-2]-'0')*10+(s[i-1]-'0') <= 26) {
            f[i] += f[i-2]
        }
    }
    return f[n]
}
[sol11-C]
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int numDecodings(char* s) {
    int n = strlen(s);
    int f[n + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (s[i - 1] != '0') {
            f[i] += f[i - 1];
        }
        if (i > 1 && s[i - 2] != '0' && ((s[i - 2] - '0') * 10 + (s[i - 1] - '0') <= 26)) {
            f[i] += f[i - 2];
        }
    }
    return f[n];
}

注意到在状态转移方程中，$f_i$ 的值仅与 $f_{i-1}$ 和 $f_{i-2}$ 有关，因此我们可以使用三个变量进行状态转移，省去数组的空间。

[sol12-C++]
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class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
        int n = s.size();
        // a = f[i-2], b = f[i-1], c = f[i]
        int a = 0, b = 1, c;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            c = 0;
            if (s[i - 1] != '0') {
                c += b;
            }
            if (i > 1 && s[i - 2] != '0' && ((s[i - 2] - '0') * 10 + (s[i - 1] - '0') <= 26)) {
                c += a;
            }
            tie(a, b) = {b, c};
        }
        return c;
    }
};
[sol12-Java]
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class Solution {
    public int numDecodings(String s) {
        int n = s.length();
        // a = f[i-2], b = f[i-1], c=f[i]
        int a = 0, b = 1, c = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            c = 0;
            if (s.charAt(i - 1) != '0') {
                c += b;
            }
            if (i > 1 && s.charAt(i - 2) != '0' && ((s.charAt(i - 2) - '0') * 10 + (s.charAt(i - 1) - '0') <= 26)) {
                c += a;
            }
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
    }
}
[sol12-Python3]
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class Solution:
    def numDecodings(self, s: str) -> int:
        n = len(s)
        # a = f[i-2], b = f[i-1], c = f[i]
        a, b, c = 0, 1, 0
        for i in range(1, n + 1):
            c = 0
            if s[i - 1] != '0':
                c += b
            if i > 1 and s[i - 2] != '0' and int(s[i-2:i]) <= 26:
                c += a
            a, b = b, c
        return c
[sol12-JavaScript]
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var numDecodings = function(s) {
    const n = s.length;
    // a = f[i-2], b = f[i-1], c = f[i]
    let a = 0, b = 1, c = 0;
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        c = 0;
        if (s[i - 1] !== '0') {
            c += b;
        }
        if (i > 1 && s[i - 2] != '0' && ((s[i - 2] - '0') * 10 + (s[i - 1] - '0') <= 26)) {
            c += a;
        }
        a = b;
        b = c;
    }
    return c;
};
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func numDecodings(s string) int {
    n := len(s)
    // a = f[i-2], b = f[i-1], c = f[i]
    a, b, c := 0, 1, 0
    for i := 1; i <= n; i++ {
        c = 0
        if s[i-1] != '0' {
            c += b
        }
        if i > 1 && s[i-2] != '0' && ((s[i-2]-'0')*10+(s[i-1]-'0') <= 26) {
            c += a
        }
        a, b = b, c
    }
    return c
}
[sol12-C]
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int numDecodings(char* s) {
    int n = strlen(s);
    // a = f[i-2], b = f[i-1], c = f[i]
    int a = 0, b = 1, c;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        c = 0;
        if (s[i - 1] != '0') {
            c += b;
        }
        if (i > 1 && s[i - 2] != '0' && ((s[i - 2] - '0') * 10 + (s[i - 1] - '0') <= 26)) {
            c += a;
        }
        a = b, b = c;
    }
    return c;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是字符串 $s$ 的长度。

  • 空间复杂度：$O(n)$ 或 $O(1)$。如果使用数组进行状态转移，空间复杂度为 $O(n)$；如果仅使用三个变量，空间复杂度为 $O(1)$。

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