0097-交错字符串

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 10:42:09 2023-09-13 10:42:09 Updated    

给定三个字符串 s1、s2、s3，请你帮忙验证 s3 是否是由 s1 和 s2 __交错 组成的。

两个字符串 s 和 t 交错 的定义与过程如下，其中每个字符串都会被分割成若干 非空 子字符串：

  • s = s1 + s2 + ... + sn
  • t = t1 + t2 + ... + tm
  • |n - m| <= 1
  • 交错 是 s1 + t1 + s2 + t2 + s3 + t3 + ... 或者 t1 + s1 + t2 + s2 + t3 + s3 + ...

注意：a + b 意味着字符串 a 和 b 连接。

示例 1：

**输入：** s1 = "aabcc", s2 = "dbbca", s3 = "aadbbcbcac"
**输出：** true

示例 2：

**输入：** s1 = "aabcc", s2 = "dbbca", s3 = "aadbbbaccc"
**输出：** false

示例 3：

**输入：** s1 = "", s2 = "", s3 = ""
**输出：** true

提示：

  • 0 <= s1.length, s2.length <= 100
  • 0 <= s3.length <= 200
  • s1、s2、和 s3 都由小写英文字母组成

进阶： 您能否仅使用 O(s2.length) 额外的内存空间来解决它?

方法一：动态规划

记 $|s_1| = n$，$|s_2| = m$。

思路与算法

双指针法错在哪里？ 也许有同学看到这道题目的第一反应是使用双指针法解决这个问题，指针 $p_1$ 一开始指向 $s_1$ 的头部，指针 $p_2$ 一开始指向 $s_2$ 的头部，指针 $p_3$ 指向 $s_3$ 的头部，每次观察 $p_1$ 和 $p_2$ 指向的元素哪一个和 $p_3$ 指向的元素相等，相等则匹配并后移指针。样例就是一个很好的反例，用这种方法判断 $s_1 = {\rm aabcc}$，$s_2 = {\rm dbbca}$，$s_3 = {\rm aadbbcbcac}$ 时，得到的结果是 $\rm False$，实际应该是 $\rm True$。

解决这个问题的正确方法是动态规划。 首先如果 $|s_1| + |s_2| \neq |s_3|$，那 $s_3$ 必然不可能由 $s_1$ 和 $s_2$ 交错组成。在 $|s_1| + |s_2| = |s_3|$ 时，我们可以用动态规划来求解。我们定义 $f(i, j)$ 表示 $s_1$ 的前 $i$ 个元素和 $s_2$ 的前 $j$ 个元素是否能交错组成 $s_3$ 的前 $i + j$ 个元素。如果 $s_1$ 的第 $i$ 个元素和 $s_3$ 的第 $i + j$ 个元素相等，那么 $s_1$ 的前 $i$ 个元素和 $s_2$ 的前 $j$ 个元素是否能交错组成 $s_3$ 的前 $i + j$ 个元素取决于 $s_1$ 的前 $i - 1$ 个元素和 $s_2$ 的前 $j$ 个元素是否能交错组成 $s_3$ 的前 $i + j - 1$ 个元素，即此时 $f(i, j)$ 取决于 $f(i - 1, j)$，在此情况下如果 $f(i - 1, j)$ 为真，则 $f(i, j)$ 也为真。同样的，如果 $s_2$ 的第 $j$ 个元素和 $s_3$ 的第 $i + j$ 个元素相等并且 $f(i, j - 1)$ 为真，则 $f(i, j)$ 也为真。于是我们可以推导出这样的动态规划转移方程：

$$f(i, j) = [f(i - 1, j) , {\rm and} , s_1(i - 1) = s_3(p)] , {\rm or} , [f(i, j - 1) , {\rm and} , s_2(j - 1) = s_3(p)]$$

其中 $p = i + j - 1$。边界条件为 $f(0, 0) = {\rm True}$。至此，我们很容易可以给出这样一个实现：

[sol0-C++]
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class Solution {
public:
    bool isInterleave(string s1, string s2, string s3) {
        auto f = vector < vector <int> > (s1.size() + 1, vector <int> (s2.size() + 1, false));

        int n = s1.size(), m = s2.size(), t = s3.size();

        if (n + m != t) {
            return false;
        }

        f[0][0] = true;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j <= m; ++j) {
                int p = i + j - 1;
                if (i > 0) {
                    f[i][j] |= (f[i - 1][j] && s1[i - 1] == s3[p]);
                }
                if (j > 0) {
                    f[i][j] |= (f[i][j - 1] && s2[j - 1] == s3[p]);
                }
            }
        }

        return f[n][m];
    }
};
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class Solution {
    public boolean isInterleave(String s1, String s2, String s3) {
        int n = s1.length(), m = s2.length(), t = s3.length();

        if (n + m != t) {
            return false;
        }

        boolean[][] f = new boolean[n + 1][m + 1];

        f[0][0] = true;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j <= m; ++j) {
                int p = i + j - 1;
                if (i > 0) {
                    f[i][j] = f[i][j] || (f[i - 1][j] && s1.charAt(i - 1) == s3.charAt(p));
                }
                if (j > 0) {
                    f[i][j] = f[i][j] || (f[i][j - 1] && s2.charAt(j - 1) == s3.charAt(p));
                }
            }
        }

        return f[n][m];
    }
}
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func isInterleave(s1 string, s2 string, s3 string) bool {
    n, m, t := len(s1), len(s2), len(s3)
    if (n + m) != t {
        return false
    }
    f := make([][]bool, n + 1)
    for i := 0; i <= n; i++ {
        f[i] = make([]bool, m + 1)
    }
    f[0][0] = true
    for i := 0; i <= n; i++ {
        for j := 0; j <= m; j++ {
            p := i + j - 1
            if i > 0 {
                f[i][j] = f[i][j] || (f[i-1][j] && s1[i-1] == s3[p])
            }
            if j > 0 {
                f[i][j] = f[i][j] || (f[i][j-1] && s2[j-1] == s3[p])
            }
        }
    }
    return f[n][m]
}
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bool isInterleave(char* s1, char* s2, char* s3) {
    int n = strlen(s1), m = strlen(s2), t = strlen(s3);

    int f[n + 1][m + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));

    if (n + m != t) {
        return false;
    }

    f[0][0] = true;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j <= m; ++j) {
            int p = i + j - 1;
            if (i > 0) {
                f[i][j] |= (f[i - 1][j] && s1[i - 1] == s3[p]);
            }
            if (j > 0) {
                f[i][j] |= (f[i][j - 1] && s2[j - 1] == s3[p]);
            }
        }
    }

    return f[n][m];
}

不难看出这个实现的时间复杂度和空间复杂度都是 $O(nm)$。

使用滚动数组优化空间复杂度。 因为这里数组 $f$ 的第 $i$ 行只和第 $i - 1$ 行相关，所以我们可以用滚动数组优化这个动态规划，这样空间复杂度可以变成 $O(m)$。敲黑板：我们又遇到「滚动数组」优化啦！不会的同学一定要学习哟。如果还没有做过这几个题建议大家做一下，都可以使用这个思想进行优化：

下面给出滚动数组优化的代码。

代码

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class Solution {
public:
    bool isInterleave(string s1, string s2, string s3) {
        auto f = vector <int> (s2.size() + 1, false);

        int n = s1.size(), m = s2.size(), t = s3.size();

        if (n + m != t) {
            return false;
        }

        f[0] = true;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j <= m; ++j) {
                int p = i + j - 1;
                if (i > 0) {
                    f[j] &= (s1[i - 1] == s3[p]);
                }
                if (j > 0) {
                    f[j] |= (f[j - 1] && s2[j - 1] == s3[p]);
                }
            }
        }

        return f[m];
    }
};
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class Solution {
    public boolean isInterleave(String s1, String s2, String s3) {
        int n = s1.length(), m = s2.length(), t = s3.length();

        if (n + m != t) {
            return false;
        }

        boolean[] f = new boolean[m + 1];

        f[0] = true;
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            for (int j = 0; j <= m; ++j) {
                int p = i + j - 1;
                if (i > 0) {
                    f[j] = f[j] && s1.charAt(i - 1) == s3.charAt(p);
                }
                if (j > 0) {
                    f[j] = f[j] || (f[j - 1] && s2.charAt(j - 1) == s3.charAt(p));
                }
            }
        }

        return f[m];
    }
}
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func isInterleave(s1 string, s2 string, s3 string) bool {
    n, m, t := len(s1), len(s2), len(s3)
    if (n + m) != t {
        return false
    }
    f := make([]bool, m + 1)
    f[0] = true
    for i := 0; i <= n; i++ {
        for j := 0; j <= m; j++ {
            p := i + j - 1
            if i > 0 {
                f[j] = f[j] && s1[i-1] == s3[p]
            }
            if j > 0 {
                f[j] = f[j] || f[j-1] && s2[j-1] == s3[p]
            }
        }
    }
    return f[m]
}
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bool isInterleave(char* s1, char* s2, char* s3) {
    int n = strlen(s1), m = strlen(s2), t = strlen(s3);

    int f[m + 1];
    memset(f, 0, sizeof(f));

    if (n + m != t) {
        return false;
    }

    f[0] = true;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j <= m; ++j) {
            int p = i + j - 1;
            if (i > 0) {
                f[j] &= (s1[i - 1] == s3[p]);
            }
            if (j > 0) {
                f[j] |= (f[j - 1] && s2[j - 1] == s3[p]);
            }
        }
    }

    return f[m];
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(nm)$，两重循环的时间代价为 $O(nm)$。
  • 空间复杂度：$O(m)$，即 $s_2$ 的长度。
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