0134-加油站

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 10:42:49 2023-09-13 10:42:49 Updated    

在一条环路上有 n 个加油站，其中第 i 个加油站有汽油 gas[i] _ _ 升。

你有一辆油箱容量无限的的汽车，从第 __i __ 个加油站开往第 __i+1 _ _ 个加油站需要消耗汽油 cost[i] _ _
升。你从其中的一个加油站出发，开始时油箱为空。

给定两个整数数组 gas 和 cost ，如果你可以按顺序绕环路行驶一周，则返回出发时加油站的编号，否则返回 -1 。如果存在解，则
保证 它是 唯一 的。

示例 1:

**输入:** gas = [1,2,3,4,5], cost = [3,4,5,1,2]
**输出:** 3
**解释:** 从 3 号加油站(索引为 3 处)出发，可获得 4 升汽油。此时油箱有 = 0 + 4 = 4 升汽油
开往 4 号加油站，此时油箱有 4 - 1 + 5 = 8 升汽油
开往 0 号加油站，此时油箱有 8 - 2 + 1 = 7 升汽油
开往 1 号加油站，此时油箱有 7 - 3 + 2 = 6 升汽油
开往 2 号加油站，此时油箱有 6 - 4 + 3 = 5 升汽油
开往 3 号加油站，你需要消耗 5 升汽油，正好足够你返回到 3 号加油站。
因此，3 可为起始索引。

示例 2:

**输入:** gas = [2,3,4], cost = [3,4,3]
**输出:** -1
**解释:** 你不能从 0 号或 1 号加油站出发，因为没有足够的汽油可以让你行驶到下一个加油站。
我们从 2 号加油站出发，可以获得 4 升汽油。 此时油箱有 = 0 + 4 = 4 升汽油
开往 0 号加油站，此时油箱有 4 - 3 + 2 = 3 升汽油
开往 1 号加油站，此时油箱有 3 - 3 + 3 = 3 升汽油
你无法返回 2 号加油站，因为返程需要消耗 4 升汽油，但是你的油箱只有 3 升汽油。
因此，无论怎样，你都不可能绕环路行驶一周。

提示:

  • gas.length == n
  • cost.length == n
  • 1 <= n <= 105
  • 0 <= gas[i], cost[i] <= 104

方法一：一次遍历

思路与算法

最容易想到的解法是：从头到尾遍历每个加油站，并检查以该加油站为起点，最终能否行驶一周。我们可以通过减小被检查的加油站数目，来降低总的时间复杂度。

假设我们此前发现，从加油站 $x$ 出发，每经过一个加油站就加一次油（包括起始加油站），最后一个可以到达的加油站是 $y$（不妨设 $x<y$）。这就说明：
$$
\sum_{i=x}^{y}\textit{gas}[i] < \sum_{i=x}^{y}\textit{cost}[i] \
\sum_{i=x}^{j}gas[i] \ge \sum_{i=x}^{j}cost[i] ~ \text{(For all $j \in [x, y)$) }
$$

第一个式子表明无法到达加油站 $y$ 的下一个加油站，第二个式子表明可以到达 $y$ 以及 $y$ 之前的所有加油站。

现在，考虑任意一个位于 $x,y$ 之间的加油站 $z$（包括 $x$ 和 $y$），我们现在考察从该加油站出发，能否到达加油站 $y$ 的下一个加油站，也就是要判断 $\sum_{i=z}^{y}\textit{gas}[i]$ 与 $\sum_{i=z}^{y}\textit{cost}[i]$ 之间的大小关系。

根据上面的式子，我们得到：
$$
\begin{aligned}
\sum_{i=z}^{y}\textit{gas}[i]&=\sum_{i=x}^{y}\textit{gas}[i]-\sum_{i=x}^{z-1}\textit{gas}[i] \
&< \sum_{i=x}^{y}\textit{cost}[i]-\sum_{i=x}^{z-1}\textit{gas}[i] \
&< \sum_{i=x}^{y}\textit{cost}[i]-\sum_{i=x}^{z-1}cost[i] \
&= \sum_{i=z}^{y}\textit{cost}[i]
\end{aligned}
$$

其中不等式的第二步、第三步分别利用了上面的第一个、第二个不等式。

从上面的推导中，能够得出结论：从 $x,y$ 之间的任何一个加油站出发，都无法到达加油站 $y$ 的下一个加油站。

在发现了这一个性质后，算法就很清楚了：我们首先检查第 $0$ 个加油站，并试图判断能否环绕一周；如果不能，就从第一个无法到达的加油站开始继续检查。

代码

[sol1-C++]
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class Solution {
public:
    int canCompleteCircuit(vector<int>& gas, vector<int>& cost) {
        int n = gas.size();
        int i = 0;
        while (i < n) {
            int sumOfGas = 0, sumOfCost = 0;
            int cnt = 0;
            while (cnt < n) {
                int j = (i + cnt) % n;
                sumOfGas += gas[j];
                sumOfCost += cost[j];
                if (sumOfCost > sumOfGas) {
                    break;
                }
                cnt++;
            }
            if (cnt == n) {
                return i;
            } else {
                i = i + cnt + 1;
            }
        }
        return -1;
    }
};
[sol1-Java]
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class Solution {
    public int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) {
        int n = gas.length;
        int i = 0;
        while (i < n) {
            int sumOfGas = 0, sumOfCost = 0;
            int cnt = 0;
            while (cnt < n) {
                int j = (i + cnt) % n;
                sumOfGas += gas[j];
                sumOfCost += cost[j];
                if (sumOfCost > sumOfGas) {
                    break;
                }
                cnt++;
            }
            if (cnt == n) {
                return i;
            } else {
                i = i + cnt + 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}
[sol1-Golang]
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func canCompleteCircuit(gas []int, cost []int) int {
    for i, n := 0, len(gas); i < n; {
        sumOfGas, sumOfCost, cnt := 0, 0, 0
        for cnt < n {
            j := (i + cnt) % n
            sumOfGas += gas[j]
            sumOfCost += cost[j]
            if sumOfCost > sumOfGas {
                break
            }
            cnt++
        }
        if cnt == n {
            return i
        } else {
            i += cnt + 1
        }
    }
    return -1
}
[sol1-C]
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int canCompleteCircuit(int* gas, int gasSize, int* cost, int costSize) {
    int i = 0;
    while (i < gasSize) {
        int sumOfGas = 0, sumOfCost = 0;
        int cnt = 0;
        while (cnt < gasSize) {
            int j = (i + cnt) % gasSize;
            sumOfGas += gas[j];
            sumOfCost += cost[j];
            if (sumOfCost > sumOfGas) {
                break;
            }
            cnt++;
        }
        if (cnt == gasSize) {
            return i;
        } else {
            i = i + cnt + 1;
        }
    }
    return -1;
}
[sol1-JavaScript]
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var canCompleteCircuit = function(gas, cost) {
    const n = gas.length;
    let i = 0;
    while (i < n) {
        let sumOfGas = 0, sumOfCost = 0;
        let cnt = 0;
        while (cnt < n) {
            const j = (i + cnt) % n;
            sumOfGas += gas[j];
            sumOfCost += cost[j];
            if (sumOfCost > sumOfGas) {
                break;
            }
            cnt++;
        }
        if (cnt === n) {
            return i;
        } else {
            i = i + cnt + 1;
        }
    }
    return -1;
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(N)$，其中 $N$ 为数组的长度。我们对数组进行了单次遍历。

  • 空间复杂度：$O(1)$。

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