0153-寻找旋转排序数组中的最小值

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次旋转后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素
。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

**输入：** nums = [3,4,5,1,2]
**输出：** 1
**解释：** 原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。

示例 2：

**输入：** nums = [4,5,6,7,0,1,2]
**输出：** 0
**解释：** 原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 4 次得到输入数组。

示例 3：

**输入：** nums = [11,13,15,17]
**输出：** 11
**解释：** 原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。

提示：

n == nums.length
1 <= n <= 5000
-5000 <= nums[i] <= 5000
nums 中的所有整数 互不相同
nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转

方法一：二分查找

思路与算法

一个不包含重复元素的升序数组在经过旋转之后，可以得到下面可视化的折线图：

其中横轴表示数组元素的下标，纵轴表示数组元素的值。图中标出了最小值的位置，是我们需要查找的目标。

我们考虑**数组中的最后一个元素 $x$**：在最小值右侧的元素（不包括最后一个元素本身），它们的值一定都严格小于 $x$；而在最小值左侧的元素，它们的值一定都严格大于 $x$。因此，我们可以根据这一条性质，通过二分查找的方法找出最小值。

在二分查找的每一步中，左边界为 $\it low$，右边界为 $\it high$，区间的中点为 $\it pivot$，最小值就在该区间内。我们将中轴元素 $\textit{nums}[\textit{pivot}]$ 与右边界元素 $\textit{nums}[\textit{high}]$ 进行比较，可能会有以下的三种情况：

第一种情况是 $\textit{nums}[\textit{pivot}] < \textit{nums}[\textit{high}]$。如下图所示，这说明 $\textit{nums}[\textit{pivot}]$ 是最小值右侧的元素，因此我们可以忽略二分查找区间的右半部分。

第二种情况是 $\textit{nums}[\textit{pivot}] > \textit{nums}[\textit{high}]$。如下图所示，这说明 $\textit{nums}[\textit{pivot}]$ 是最小值左侧的元素，因此我们可以忽略二分查找区间的左半部分。

由于数组不包含重复元素，并且只要当前的区间长度不为 $1$，$\it pivot$ 就不会与 $\it high$ 重合；而如果当前的区间长度为 $1$，这说明我们已经可以结束二分查找了。因此不会存在 $\textit{nums}[\textit{pivot}] = \textit{nums}[\textit{high}]$ 的情况。

当二分查找结束时，我们就得到了最小值所在的位置。

[sol1-C++]class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int low = 0;
        int high = nums.size() - 1;
        while (low < high) {
            int pivot = low + (high - low) / 2;
            if (nums[pivot] < nums[high]) {
                high = pivot;
            }
            else {
                low = pivot + 1;
            }
        }
        return nums[low];
    }
};

[sol1-Java]class Solution {
    public int findMin(int[] nums) {
        int low = 0;
        int high = nums.length - 1;
        while (low < high) {
            int pivot = low + (high - low) / 2;
            if (nums[pivot] < nums[high]) {
                high = pivot;
            } else {
                low = pivot + 1;
            }
        }
        return nums[low];
    }
}

[sol1-Python3]class Solution:
    def findMin(self, nums: List[int]) -> int:    
        low, high = 0, len(nums) - 1
        while low < high:
            pivot = low + (high - low) // 2
            if nums[pivot] < nums[high]:
                high = pivot 
            else:
                low = pivot + 1
        return nums[low]

[sol1-C]int findMin(int* nums, int numsSize) {
    int low = 0;
    int high = numsSize - 1;
    while (low < high) {
        int pivot = low + (high - low) / 2;
        if (nums[pivot] < nums[high]) {
            high = pivot;
        } else {
            low = pivot + 1;
        }
    }
    return nums[low];
}

[sol1-Golang]func findMin(nums []int) int {
    low, high := 0, len(nums) - 1
    for low < high {
        pivot := low + (high - low) / 2
        if nums[pivot] < nums[high] {
            high = pivot
        } else {
            low = pivot + 1
        }
    }
    return nums[low]
}

[sol1-JavaScript]var findMin = function(nums) {
    let low = 0;
    let high = nums.length - 1;
    while (low < high) {
        const pivot = low + Math.floor((high - low) / 2);
        if (nums[pivot] < nums[high]) {
            high = pivot;
        } else {
            low = pivot + 1;
        }
    }
    return nums[low];
};

复杂度分析

时间复杂度：时间复杂度为 $O(\log n)$，其中 $n$ 是数组 $\textit{nums}$ 的长度。在二分查找的过程中，每一步会忽略一半的区间，因此时间复杂度为 $O(\log n)$。
空间复杂度：$O(1)$。