0154-寻找旋转排序数组中的最小值 II

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次旋转后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,4,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,4]
若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,4,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

给你一个可能存在重复元素值的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的
最小元素 。

你必须尽可能减少整个过程的操作步骤。

示例 1：

**输入：** nums = [1,3,5]
**输出：** 1

示例 2：

**输入：** nums = [2,2,2,0,1]
**输出：** 0

提示：

n == nums.length
1 <= n <= 5000
-5000 <= nums[i] <= 5000
nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转

进阶： 这道题与 [寻找旋转排序数组中的最小值](https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-
rotated-sorted-array/description/) 类似，但 nums
可能包含重复元素。允许重复会影响算法的时间复杂度吗？会如何影响，为什么？

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📖 文字题解

前言

本题是「153. 寻找旋转排序数组中的最小值」的延伸。读者可以先尝试第 153 题，体会在旋转数组中进行二分查找的思路，再来尝试解决本题。

方法一：二分查找

思路与算法

一个包含重复元素的升序数组在经过旋转之后，可以得到下面可视化的折线图：

其中横轴表示数组元素的下标，纵轴表示数组元素的值。图中标出了最小值的位置，是我们需要查找的目标。

我们考虑**数组中的最后一个元素 $x$**：在最小值右侧的元素，它们的值一定都小于等于 $x$；而在最小值左侧的元素，它们的值一定都大于等于 $x$。因此，我们可以根据这一条性质，通过二分查找的方法找出最小值。

在二分查找的每一步中，左边界为 $\it low$，右边界为 $\it high$，区间的中点为 $\it pivot$，最小值就在该区间内。我们将中轴元素 $\textit{nums}[\textit{pivot}]$ 与右边界元素 $\textit{nums}[\textit{high}]$ 进行比较，可能会有以下的三种情况：

第一种情况是 $\textit{nums}[\textit{pivot}] < \textit{nums}[\textit{high}]$。如下图所示，这说明 $\textit{nums}[\textit{pivot}]$ 是最小值右侧的元素，因此我们可以忽略二分查找区间的右半部分。

第二种情况是 $\textit{nums}[\textit{pivot}] > \textit{nums}[\textit{high}]$。如下图所示，这说明 $\textit{nums}[\textit{pivot}]$ 是最小值左侧的元素，因此我们可以忽略二分查找区间的左半部分。

第三种情况是 $\textit{nums}[\textit{pivot}] == \textit{nums}[\textit{high}]$。如下图所示，由于重复元素的存在，我们并不能确定 $\textit{nums}[\textit{pivot}]$ 究竟在最小值的左侧还是右侧，因此我们不能莽撞地忽略某一部分的元素。我们唯一可以知道的是，由于它们的值相同，所以无论 $\textit{nums}[\textit{high}]$ 是不是最小值，都有一个它的「替代品」$\textit{nums}[\textit{pivot}]$，因此我们可以忽略二分查找区间的右端点。

当二分查找结束时，我们就得到了最小值所在的位置。

[sol1-C++]class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int low = 0;
        int high = nums.size() - 1;
        while (low < high) {
            int pivot = low + (high - low) / 2;
            if (nums[pivot] < nums[high]) {
                high = pivot;
            }
            else if (nums[pivot] > nums[high]) {
                low = pivot + 1;
            }
            else {
                high -= 1;
            }
        }
        return nums[low];
    }
};

[sol1-Java]class Solution {
    public int findMin(int[] nums) {
        int low = 0;
        int high = nums.length - 1;
        while (low < high) {
            int pivot = low + (high - low) / 2;
            if (nums[pivot] < nums[high]) {
                high = pivot;
            } else if (nums[pivot] > nums[high]) {
                low = pivot + 1;
            } else {
                high -= 1;
            }
        }
        return nums[low];
    }
}

[sol1-Python3]class Solution:
    def findMin(self, nums: List[int]) -> int:    
        low, high = 0, len(nums) - 1
        while low < high:
            pivot = low + (high - low) // 2
            if nums[pivot] < nums[high]:
                high = pivot 
            elif nums[pivot] > nums[high]:
                low = pivot + 1
            else:
                high -= 1
        return nums[low]

[sol1-C]int findMin(int* nums, int numsSize) {
    int low = 0;
    int high = numsSize - 1;
    while (low < high) {
        int pivot = low + (high - low) / 2;
        if (nums[pivot] < nums[high]) {
            high = pivot;
        } else if (nums[pivot] > nums[high]) {
            low = pivot + 1;
        } else {
            high -= 1;
        }
    }
    return nums[low];
}

[sol1-Golang]func findMin(nums []int) int {
    low, high := 0, len(nums) - 1
    for low < high {
        pivot := low + (high - low) / 2
        if nums[pivot] < nums[high] {
            high = pivot
        } else if nums[pivot] > nums[high] {
            low = pivot + 1
        } else {
            high--
        }
    }
    return nums[low]
}

[sol1-JavaScript]var findMin = function(nums) {
    let low = 0;
    let high = nums.length - 1;
    while (low < high) {
        const pivot = low + Math.floor((high - low) / 2);
        if (nums[pivot] < nums[high]) {
            high = pivot;
        } else if (nums[pivot] > nums[high]) {
            low = pivot + 1;
        } else {
            high -= 1;
        }
    }
    return nums[low];
};

复杂度分析

时间复杂度：平均时间复杂度为 $O(\log n)$，其中 $n$ 是数组 $\it nums$ 的长度。如果数组是随机生成的，那么数组中包含相同元素的概率很低，在二分查找的过程中，大部分情况都会忽略一半的区间。而在最坏情况下，如果数组中的元素完全相同，那么 $\texttt{while}$ 循环就需要执行 $n$ 次，每次忽略区间的右端点，时间复杂度为 $O(n)$。
空间复杂度：$O(1)$。