0162-寻找峰值

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 10:43:19 2023-09-13 10:43:19 Updated    

峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。

给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。

你必须实现时间复杂度为 O(log n) __ 的算法来解决此问题。

示例 1：

**输入：** nums = [1,2,3,1]
**输出：** 2
**解释：** 3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。

示例 2：

**输入：** nums = [1,2,1,3,5,6,4]
**输出：** 1 或 5 
**解释：** 你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；
     或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。

提示：

  • 1 <= nums.length <= 1000
  • -231 <= nums[i] <= 231 - 1
  • 对于所有有效的 i 都有 nums[i] != nums[i + 1]

方法一：寻找最大值

思路与算法

由于题目保证了 $\textit{nums}[i] \neq \textit{nums}[i+1]$，那么数组 $\textit{nums}$ 中最大值两侧的元素一定严格小于最大值本身。因此，最大值所在的位置就是一个可行的峰值位置。

我们对数组 $\textit{nums}$ 进行一次遍历，找到最大值对应的位置即可。

代码

[sol1-C++]
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class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums) {
        return max_element(nums.begin(), nums.end()) - nums.begin();
    }
};
[sol1-Java]
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class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int idx = 0;
        for (int i = 1; i < nums.length; ++i) {
            if (nums[i] > nums[idx]) {
                idx = i;
            }
        }
        return idx;
    }
}
[sol1-C#]
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public class Solution {
    public int FindPeakElement(int[] nums) {
        int idx = 0;
        for (int i = 1; i < nums.Length; ++i) {
            if (nums[i] > nums[idx]) {
                idx = i;
            }
        }
        return idx;
    }
}
[sol1-Python3]
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class Solution:
    def findPeakElement(self, nums: List[int]) -> int:
        idx = 0
        for i in range(1, len(nums)):
            if nums[i] > nums[idx]:
                idx = i
        return idx
[sol1-Golang]
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func findPeakElement(nums []int) (idx int) {
    for i, v := range nums {
        if v > nums[idx] {
            idx = i
        }
    }
    return
}
[sol1-JavaScript]
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var findPeakElement = function(nums) {
    let idx = 0;
    for (let i = 1; i < nums.length; ++i) {
        if (nums[i] > nums[idx]) {
            idx = i;
        }
    }
    return idx;
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组 $\textit{nums}$ 的长度。

  • 空间复杂度：$O(1)$。

方法二：迭代爬坡

思路与算法

俗话说「人往高处走，水往低处流」。如果我们从一个位置开始，不断地向高处走，那么最终一定可以到达一个峰值位置。

因此，我们首先在 $[0, n)$ 的范围内随机一个初始位置 $i$，随后根据 $\textit{nums}[i-1], \textit{nums}[i], \textit{nums}[i+1]$ 三者的关系决定向哪个方向走：

  • 如果 $\textit{nums}[i-1] < \textit{nums}[i] > \textit{nums}[i+1]$，那么位置 $i$ 就是峰值位置，我们可以直接返回 $i$ 作为答案；

  • 如果 $\textit{nums}[i-1] < \textit{nums}[i] < \textit{nums}[i+1]$，那么位置 $i$ 处于上坡，我们需要往右走，即 $i \leftarrow i+1$；

  • 如果 $\textit{nums}[i-1] > \textit{nums}[i] > \textit{nums}[i+1]$，那么位置 $i$ 处于下坡，我们需要往左走，即 $i \leftarrow i-1$；

  • 如果 $\textit{nums}[i-1] > \textit{nums}[i] < \textit{nums}[i+1]$，那么位置 $i$ 位于山谷，两侧都是上坡，我们可以朝任意方向走。

如果我们规定对于最后一种情况往右走，那么当位置 $i$ 不是峰值位置时：

  • 如果 $\textit{nums}[i] < \textit{nums}[i+1]$，那么我们往右走；

  • 如果 $\textit{nums}[i] > \textit{nums}[i+1]$，那么我们往左走。

代码

[sol2-C++]
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class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int idx = rand() % n;

        // 辅助函数，输入下标 i，返回一个二元组 (0/1, nums[i])
        // 方便处理 nums[-1] 以及 nums[n] 的边界情况
        auto get = [&](int i) -> pair<int, int> {
            if (i == -1 || i == n) {
                return {0, 0};
            }
            return {1, nums[i]};
        };

        while (!(get(idx - 1) < get(idx) && get(idx) > get(idx + 1))) {
            if (get(idx) < get(idx + 1)) {
                idx += 1;
            }
            else {
                idx -= 1;
            }
        }
        
        return idx;
    }
};
[sol2-Java]
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class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int idx = (int) (Math.random() * n);

        while (!(compare(nums, idx - 1, idx) < 0 && compare(nums, idx, idx + 1) > 0)) {
            if (compare(nums, idx, idx + 1) < 0) {
                idx += 1;
            } else {
                idx -= 1;
            }
        }
        
        return idx;
    }

    // 辅助函数，输入下标 i，返回一个二元组 (0/1, nums[i])
    // 方便处理 nums[-1] 以及 nums[n] 的边界情况
    public int[] get(int[] nums, int idx) {
        if (idx == -1 || idx == nums.length) {
            return new int[]{0, 0};
        }
        return new int[]{1, nums[idx]};
    }

    public int compare(int[] nums, int idx1, int idx2) {
        int[] num1 = get(nums, idx1);
        int[] num2 = get(nums, idx2);
        if (num1[0] != num2[0]) {
            return num1[0] > num2[0] ? 1 : -1;
        }
        if (num1[1] == num2[1]) {
            return 0;
        }
        return num1[1] > num2[1] ? 1 : -1;
    }
}
[sol2-C#]
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public class Solution {
    public int FindPeakElement(int[] nums) {
        int n = nums.Length;
        int idx = new Random().Next(n);

        while (!(Compare(nums, idx - 1, idx) < 0 && Compare(nums, idx, idx + 1) > 0)) {
            if (Compare(nums, idx, idx + 1) < 0) {
                idx += 1;
            } else {
                idx -= 1;
            }
        }
        
        return idx;
    }

    // 辅助函数，输入下标 i，返回一个二元组 (0/1, nums[i])
    // 方便处理 nums[-1] 以及 nums[n] 的边界情况
    public int[] Get(int[] nums, int idx) {
        if (idx == -1 || idx == nums.Length) {
            return new int[]{0, 0};
        }
        return new int[]{1, nums[idx]};
    }

    public int Compare(int[] nums, int idx1, int idx2) {
        int[] num1 = Get(nums, idx1);
        int[] num2 = Get(nums, idx2);
        if (num1[0] != num2[0]) {
            return num1[0] > num2[0] ? 1 : -1;
        }
        if (num1[1] == num2[1]) {
            return 0;
        }
        return num1[1] > num2[1] ? 1 : -1;
    }
}
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class Solution:
    def findPeakElement(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        idx = random.randint(0, n - 1)

        # 辅助函数，输入下标 i，返回 nums[i] 的值
        # 方便处理 nums[-1] 以及 nums[n] 的边界情况
        def get(i: int) -> int:
            if i == -1 or i == n:
                return float('-inf')
            return nums[i]
        
        while not (get(idx - 1) < get(idx) > get(idx + 1)):
            if get(idx) < get(idx + 1):
                idx += 1
            else:
                idx -= 1
        
        return idx
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func findPeakElement(nums []int) int {
    n := len(nums)
    idx := rand.Intn(n)

    // 辅助函数，输入下标 i，返回 nums[i] 的值
    // 方便处理 nums[-1] 以及 nums[n] 的边界情况
    get := func(i int) int {
        if i == -1 || i == n {
            return math.MinInt64
        }
        return nums[i]
    }

    for !(get(idx-1) < get(idx) && get(idx) > get(idx+1)) {
        if get(idx) < get(idx+1) {
            idx++
        } else {
            idx--
        }
    }

    return idx
}
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var findPeakElement = function(nums) {
    const n = nums.length;
    let idx = parseInt(Math.random() * n);

    while (!(compare(nums, idx - 1, idx) < 0 && compare(nums, idx, idx + 1) > 0)) {
        if (compare(nums, idx, idx + 1) < 0) {
            idx += 1;
        } else {
            idx -= 1;
        }
    }
    
    return idx;
}

// 辅助函数，输入下标 i，返回一个二元组 (0/1, nums[i])
// 方便处理 nums[-1] 以及 nums[n] 的边界情况
const get = (nums, idx) => {
    if (idx === -1 || idx === nums.length) {
        return [0, 0];
    }
    return [1, nums[idx]];
}

const compare = (nums, idx1, idx2) => {
    const num1 = get(nums, idx1);
    const num2 = get(nums, idx2);
    if (num1[0] !== num2[0]) {
        return num1[0] > num2[0] ? 1 : -1;
    }
    if (num1[1] === num2[1]) {
        return 0;
    }
    return num1[1] > num2[1] ? 1 : -1;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是数组 $\textit{nums}$ 的长度。在最坏情况下，数组 $\textit{nums}$ 单调递增，并且我们随机到位置 $0$，这样就需要向右走到数组 $\textit{nums}$ 的最后一个位置。

  • 空间复杂度：$O(1)$。

方法三：方法二的二分查找优化

思路与算法

我们可以发现，如果 $\textit{nums}[i] < \textit{nums}[i+1]$，并且我们从位置 $i$ 向右走到了位置 $i+1$，那么位置 $i$ 左侧的所有位置是不可能在后续的迭代中走到的。

这是因为我们每次向左或向右移动一个位置，要想「折返」到位置 $i$ 以及其左侧的位置，我们首先需要在位置 $i+1$ 向左走到位置 $i$，但这是不可能的。

并且根据方法二，我们知道位置 $i+1$ 以及其右侧的位置中一定有一个峰值，因此我们可以设计出如下的一个算法：

  • 对于当前可行的下标范围 $[l, r]$，我们随机一个下标 $i$；

  • 如果下标 $i$ 是峰值，我们返回 $i$ 作为答案；

  • 如果 $\textit{nums}[i] < \textit{nums}[i+1]$，那么我们抛弃 $[l, i]$ 的范围，在剩余 $[i+1, r]$ 的范围内继续随机选取下标；

  • 如果 $\textit{nums}[i] > \textit{nums}[i+1]$，那么我们抛弃 $[i, r]$ 的范围，在剩余 $[l, i-1]$ 的范围内继续随机选取下标。

在上述算法中，如果我们固定选取 $i$ 为 $[l, r]$ 的中点，那么每次可行的下标范围会减少一半，成为一个类似二分查找的方法，时间复杂度为 $O(\log n)$。

代码

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class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();

        // 辅助函数，输入下标 i，返回一个二元组 (0/1, nums[i])
        // 方便处理 nums[-1] 以及 nums[n] 的边界情况
        auto get = [&](int i) -> pair<int, int> {
            if (i == -1 || i == n) {
                return {0, 0};
            }
            return {1, nums[i]};
        };

        int left = 0, right = n - 1, ans = -1;
        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (get(mid - 1) < get(mid) && get(mid) > get(mid + 1)) {
                ans = mid;
                break;
            }
            if (get(mid) < get(mid + 1)) {
                left = mid + 1;
            }
            else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }
};
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class Solution {
    public int findPeakElement(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int left = 0, right = n - 1, ans = -1;
        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (compare(nums, mid - 1, mid) < 0 && compare(nums, mid, mid + 1) > 0) {
                ans = mid;
                break;
            }
            if (compare(nums, mid, mid + 1) < 0) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }

    // 辅助函数，输入下标 i，返回一个二元组 (0/1, nums[i])
    // 方便处理 nums[-1] 以及 nums[n] 的边界情况
    public int[] get(int[] nums, int idx) {
        if (idx == -1 || idx == nums.length) {
            return new int[]{0, 0};
        }
        return new int[]{1, nums[idx]};
    }

    public int compare(int[] nums, int idx1, int idx2) {
        int[] num1 = get(nums, idx1);
        int[] num2 = get(nums, idx2);
        if (num1[0] != num2[0]) {
            return num1[0] > num2[0] ? 1 : -1;
        }
        if (num1[1] == num2[1]) {
            return 0;
        }
        return num1[1] > num2[1] ? 1 : -1;
    }
}
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public class Solution {
    public int FindPeakElement(int[] nums) {
        int n = nums.Length;
        int left = 0, right = n - 1, ans = -1;
        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (Compare(nums, mid - 1, mid) < 0 && Compare(nums, mid, mid + 1) > 0) {
                ans = mid;
                break;
            }
            if (Compare(nums, mid, mid + 1) < 0) {
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return ans;
    }

    // 辅助函数，输入下标 i，返回一个二元组 (0/1, nums[i])
    // 方便处理 nums[-1] 以及 nums[n] 的边界情况
    public int[] Get(int[] nums, int idx) {
        if (idx == -1 || idx == nums.Length) {
            return new int[]{0, 0};
        }
        return new int[]{1, nums[idx]};
    }

    public int Compare(int[] nums, int idx1, int idx2) {
        int[] num1 = Get(nums, idx1);
        int[] num2 = Get(nums, idx2);
        if (num1[0] != num2[0]) {
            return num1[0] > num2[0] ? 1 : -1;
        }
        if (num1[1] == num2[1]) {
            return 0;
        }
        return num1[1] > num2[1] ? 1 : -1;
    }
}
[sol3-Python3]
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class Solution:
    def findPeakElement(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)

        # 辅助函数，输入下标 i，返回 nums[i] 的值
        # 方便处理 nums[-1] 以及 nums[n] 的边界情况
        def get(i: int) -> int:
            if i == -1 or i == n:
                return float('-inf')
            return nums[i]
        
        left, right, ans = 0, n - 1, -1
        while left <= right:
            mid = (left + right) // 2
            if get(mid - 1) < get(mid) > get(mid + 1):
                ans = mid
                break
            if get(mid) < get(mid + 1):
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
        
        return ans
[sol3-Golang]
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func findPeakElement(nums []int) int {
    n := len(nums)

    // 辅助函数，输入下标 i，返回 nums[i] 的值
    // 方便处理 nums[-1] 以及 nums[n] 的边界情况
    get := func(i int) int {
        if i == -1 || i == n {
            return math.MinInt64
        }
        return nums[i]
    }

    left, right := 0, n-1
    for {
        mid := (left + right) / 2
        if get(mid-1) < get(mid) && get(mid) > get(mid+1) {
            return mid
        }
        if get(mid) < get(mid+1) {
            left = mid + 1
        } else {
            right = mid - 1
        }
    }
}
[sol3-JavaScript]
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var findPeakElement = function(nums) {
    const n = nums.length;
    let left = 0, right = n - 1, ans = -1;
    while (left <= right) {
        const mid = Math.floor((left + right) / 2);
        if (compare(nums, mid - 1, mid) < 0 && compare(nums, mid, mid + 1) > 0) {
            ans = mid;
            break;
        }
        if (compare(nums, mid, mid + 1) < 0) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return ans;
}

// 辅助函数，输入下标 i，返回一个二元组 (0/1, nums[i])
// 方便处理 nums[-1] 以及 nums[n] 的边界情况
const get = (nums, idx) => {
    if (idx === -1 || idx === nums.length) {
        return [0, 0];
    }
    return [1, nums[idx]];
}

const compare = (nums, idx1, idx2) => {
    const num1 = get(nums, idx1);
    const num2 = get(nums, idx2);
    if (num1[0] !== num2[0]) {
        return num1[0] > num2[0] ? 1 : -1;
    }
    if (num1[1] === num2[1]) {
        return 0;
    }
    return num1[1] > num2[1] ? 1 : -1;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(\log n)$，其中 $n$ 是数组 $\textit{nums}$ 的长度。

  • 空间复杂度：$O(1)$。

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