0167-两数之和 II - 输入有序数组

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 10:43:24 2023-09-13 10:43:24 Updated    

给你一个下标从 1 开始的整数数组 numbers ，该数组已按 ** __ 非递减顺序排列 **，请你从数组中找出满足相加之和等于目标数
target 的两个数。如果设这两个数分别是 numbers[index1] 和 numbers[index2] ，则 1 <= index1 < index2 <= numbers.length 。

以长度为 2 的整数数组 [index1, index2] 的形式返回这两个整数的下标 index1 __ 和 __index2。

你可以假设每个输入 只对应唯一的答案 ，而且你 不可以 重复使用相同的元素。

你所设计的解决方案必须只使用常量级的额外空间。

示例 1：

**输入：** numbers = [ ** _2_** , ** _7_** ,11,15], target = 9
**输出：** [1,2]
**解释：** 2 与 7 之和等于目标数 9 。因此 index1 = 1, index2 = 2 。返回 [1, 2] 。

示例 2：

**输入：** numbers = [ ** _2_** ,3, ** _4_** ], target = 6
**输出：** [1,3]
**解释：** 2 与 4 之和等于目标数 6 。因此 index1 = 1, index2 = 3 。返回 [1, 3] 。

示例 3：

**输入：** numbers = [ ** _-1_** , ** _0_** ], target = -1
**输出：** [1,2]
**解释：** -1 与 0 之和等于目标数 -1 。因此 index1 = 1, index2 = 2 。返回 [1, 2] 。

提示：

  • 2 <= numbers.length <= 3 * 104
  • -1000 <= numbers[i] <= 1000
  • numbers 按 非递减顺序 排列
  • -1000 <= target <= 1000
  • 仅存在一个有效答案

解题思路：

很多人做这个题目想不到正确的 $O(n)$ 解法，即使看了答案理解了，下次再做的时候还是会忘记。要想真正理解这道题，就要明白解法背后的道理。这样不仅可以记住这道题，还能举一反三解决类似的题目。

很多题解只给出了双指针解法的代码，但没有说明解法的正确性。为什么双指针往中间移动时，不会漏掉某些情况呢？要解答这个问题，我们要从 缩减搜索空间 的角度思考这个解法。下面我将以文字和图片两种方式进行讲解。

首先放上参考答案：

[]
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4
5
6
7
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15
vector<int> twoSum(vector<int>& numbers, int target) {
    int i = 0;
    int j = numbers.size()-1;
    while (i < j) {
        int sum = numbers[i] + numbers[j];
        if (sum < target) {
            i++;
        } else if (sum > target) {
            j--;
        } else {
            return vector<int>{i+1, j+1};
        }
    }
    return vector<int>{-1, -1};
}
[]
1
2
3
4
5
6
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9
10
11
12
13
14
15
public int[] twoSum(int[] numbers, int target) {
    int i = 0;
    int j = numbers.length - 1;
    while (i < j) {
        int sum = numbers[i] + numbers[j];
        if (sum < target) {
            i++;
        } else if (sum > target) {
            j--;
        } else {
            return new int[]{i+1, j+1};
        }
    }
    return new int[]{-1, -1};
}

需要注意的是，虽然本题叫做 Two Sum II，但解法和 Two Sum 完全不同。

图解双指针解法的原理

在这道题中，我们要寻找的是符合条件的一对下标 $(i, j)$，它们需要满足的约束条件是：

  • $i$、$j$ 都是合法的下标，即 $0 \le i < n, 0 \le j < n$
  • $i < j$（题目要求）

而我们希望从中找到满足 A[i] + A[j] == target 的下标 $(i, j)$。以 $n = 8$ 为例，这时候全部的搜索空间是：

下标 i, j 的搜索空间{:width=400}
{:align=center}

由于 $i$、$j$ 的约束条件的限制，搜索空间是白色的倒三角部分。可以看到，搜索空间的大小是 $O(n^2)$ 数量级的。如果用暴力解法求解，一次只检查一个单元格，那么时间复杂度一定是 $O(n^2)$。要想得到 $O(n)$ 的解法，我们就需要能够一次排除多个单元格。那么我们来看看，本题的双指针解法是如何削减搜索空间的：

一开始，我们检查右上方单元格 $(0, 7)$，即计算 A[0] + A[7] ，与 target 进行比较。如果不相等的话，则要么大于 target，要么小于 target。

检查单元格 0, 7{:width=400}
{:align=center}

假设此时 A[0] + A[7] 小于 target。这时候，我们应该去找和更大的两个数。由于 A[7] 已经是最大的数了，其他的数跟 A[0] 相加，和只会更小。也就是说 A[0] + A[6] 、A[0] + A[5]、……、A[0] + A[1] 也都小于 target，这些都是不合要求的解，可以一次排除。这相当于 $i=0$ 的情况全部被排除。对应用双指针解法的代码，就是 i++，对应于搜索空间，就是削减了一行的搜索空间，如下图所示。

排除 i = 0 的全部解{:width=400}
{:align=center}

排除掉了搜索空间中的一行之后，我们再看剩余的搜索空间，仍然是倒三角形状。我们检查右上方的单元格 $(1, 7)$，计算 A[1] + A[7] 与 target 进行比较。

检查单元格 1, 7{:width=400}
{:align=center}

假设此时 A[0] + A[7] 大于 target。这时候，我们应该去找 和更小的两个数。由于 A[1] 已经是当前搜索空间最小的数了，其他的数跟 A[7] 相加的话，和只会更大。也就是说 A[1] + A[7] 、A[2] + A[7]、……、A[6] + A[7] 也都大于 target，这些都是不合要求的解，可以一次排除。这相当于 $j=0$ 的情况全部被排除。对应用双指针解法的代码，就是 j++，对应于搜索空间，就是削减了一列的搜索空间，如下图所示。

排除 j = 7 的全部解{:width=400}
{:align=center}

可以看到，无论 A[i] + A[j] 的结果是大了还是小了，我们都可以排除掉一行或者一列的搜索空间。经过 $n$ 步以后，就能排除所有的搜索空间，检查完所有的可能性。搜索空间的减小过程如下面动图所示：

搜索空间的减小过程（动图）{:width=400}
{:align=center}

实际上还有几道题也是用到了这样的 缩减搜索空间 的思想：

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