0292-Nim 游戏

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 10:45:09 2023-09-13 10:45:09 Updated    

你和你的朋友，两个人一起玩 Nim 游戏 ：

  • 桌子上有一堆石头。
  • 你们轮流进行自己的回合， **你作为先手 **。
  • 每一回合，轮到的人拿掉 1 - 3 块石头。
  • 拿掉最后一块石头的人就是获胜者。

假设你们每一步都是最优解。请编写一个函数，来判断你是否可以在给定石头数量为 n 的情况下赢得游戏。如果可以赢，返回 true；否则，返回
false 。

示例 1：

**输入：**n = 4
**输出：** false 
**解释：** 以下是可能的结果:
1. 移除1颗石头。你的朋友移走了3块石头，包括最后一块。你的朋友赢了。
2. 移除2个石子。你的朋友移走2块石头，包括最后一块。你的朋友赢了。
3.你移走3颗石子。你的朋友移走了最后一块石头。你的朋友赢了。
在所有结果中，你的朋友是赢家。

示例 2：

**输入：** n = 1
**输出：** true

示例 3：

**输入：** n = 2
**输出：** true

提示：

  • 1 <= n <= 231 - 1

方法一：数学推理

思路与算法

让我们考虑一些小例子。显而易见的是，如果石头堆中只有一块、两块、或是三块石头，那么在你的回合，你就可以把全部石子拿走，从而在游戏中取胜；如果堆中恰好有四块石头，你就会失败。因为在这种情况下不管你取走多少石头，总会为你的对手留下几块，他可以将剩余的石头全部取完，从而他可以在游戏中打败你。因此，要想获胜，在你的回合中，必须避免石头堆中的石子数为 $4$ 的情况。

  • 我们继续推理，假设当前堆里只剩下五块、六块、或是七块石头，你可以控制自己拿取的石头数，总是恰好给你的对手留下四块石头，使他输掉这场比赛。但是如果石头堆里有八块石头，你就不可避免地会输掉，因为不管你从一堆石头中挑出一块、两块还是三块，你的对手都可以选择三块、两块或一块，以确保在再一次轮到你的时候，你会面对四块石头。显然我们继续推理，可以看到它会以相同的模式不断重复 $n = 4, 8, 12, 16, \ldots$，基本可以看出如果堆里的石头数目为 $4$ 的倍数时，你一定会输掉游戏。

  • 如果总的石头数目为 $4$ 的倍数时，因为无论你取多少石头，对方总有对应的取法，让剩余的石头的数目继续为 $4$ 的倍数。对于你或者你的对手取石头时，显然最优的选择是当前己方取完石头后，让剩余的石头的数目为 $4$ 的倍数。假设当前的石头数目为 $x$，如果 $x$ 为 $4$ 的倍数时，则此时你必然会输掉游戏；如果 $x$ 不为 $4$ 的倍数时，则此时你只需要取走 $x \bmod 4$ 个石头时，则剩余的石头数目必然为 $4$ 的倍数，从而对手会输掉游戏。

代码

[sol1-C++]
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class Solution {
public:
    bool canWinNim(int n) {
        return n % 4 != 0;
    }
};
[sol1-Java]
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class Solution {
    public boolean canWinNim(int n) {
        return n % 4 != 0;
    }
}
[sol1-C#]
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5
class Solution {
    public boolean canWinNim(int n) {
        return n % 4 != 0;
    }
}
[sol1-Python3]
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class Solution:
    def canWinNim(self, n: int) -> bool:
        return n % 4 != 0
[sol1-JavaScript]
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var canWinNim = function(n) {
    return n % 4 !== 0;
};
[sol1-C]
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bool canWinNim(int n) {
    return n % 4 != 0;
}
[sol1-Golang]
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func canWinNim(n int) bool {
    return n%4 != 0
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(1)$。

  • 空间复杂度：$O(1)$。

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