0377-组合总和 Ⅳ

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 15:32:49 2023-09-13 15:32:49 Updated    

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target
的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

**输入：** nums = [1,2,3], target = 4
**输出：** 7
**解释：**
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

示例 2：

**输入：** nums = [9], target = 3
**输出：** 0

提示：

  • 1 <= nums.length <= 200
  • 1 <= nums[i] <= 1000
  • nums 中的所有元素 互不相同
  • 1 <= target <= 1000

进阶： 如果给定的数组中含有负数会发生什么？问题会产生何种变化？如果允许负数出现，需要向题目中添加哪些限制条件？

方法一：动态规划

这道题中，给定数组 nums 和目标值 target，要求计算从 nums 中选取若干个元素，使得它们的和等于 target 的方案数。其中，nums 的每个元素可以选取多次，且需要考虑选取元素的顺序。由于需要考虑选取元素的顺序，因此这道题需要计算的是选取元素的排列数。

可以通过动态规划的方法计算可能的方案数。用 dp}[x]$ 表示选取的元素之和等于 $x$ 的方案数，目标是求 dp}[\textit{target}]$。

动态规划的边界是 dp}[0]=1$。只有当不选取任何元素时，元素之和才为 $0$，因此只有 $1$ 种方案。

当 $1 \le i \le \textit{target 时，如果存在一种排列，其中的元素之和等于 $i$，则该排列的最后一个元素一定是数组 nums 中的一个元素。假设该排列的最后一个元素是 num，则一定有 num} \le i$，对于元素之和等于 $i - \textit{num 的每一种排列，在最后添加 num 之后即可得到一个元素之和等于 $i$ 的排列，因此在计算 dp}[i]$ 时，应该计算所有的 dp}[i-\textit{num}]$ 之和。

由此可以得到动态规划的做法：

  • 初始化 dp}[0]=1$；

  • 遍历 $i$ 从 $1$ 到 target，对于每个 $i$，进行如下操作：

    • 遍历数组 nums 中的每个元素 num，当 num} \le i$ 时，将 dp}[i - \textit{num}]$ 的值加到 dp}[i]$。

  • 最终得到 dp}[\textit{target}]$ 的值即为答案。

上述做法是否考虑到选取元素的顺序？答案是肯定的。因为外层循环是遍历从 $1$ 到 target 的值，内层循环是遍历数组 nums 的值，在计算 dp}[i]$ 的值时，nums 中的每个小于等于 $i$ 的元素都可能作为元素之和等于 $i$ 的排列的最后一个元素。例如，$1$ 和 $3$ 都在数组 nums 中，计算 dp}[4]$ 的时候，排列的最后一个元素可以是 $1$ 也可以是 $3$，因此 dp}[1]$ 和 dp}[3]$ 都会被考虑到，即不同的顺序都会被考虑到。

[sol1-Java]
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class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= target; i++) {
            for (int num : nums) {
                if (num <= i) {
                    dp[i] += dp[i - num];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}
[sol1-JavaScript]
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var combinationSum4 = function(nums, target) {
    const dp = new Array(target + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;
    for (let i = 1; i <= target; i++) {
        for (const num of nums) {
            if (num <= i) {
                dp[i] += dp[i - num];
            }
        }
    }
    return dp[target];
};
[sol1-Golang]
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func combinationSum4(nums []int, target int) int {
    dp := make([]int, target+1)
    dp[0] = 1
    for i := 1; i <= target; i++ {
        for _, num := range nums {
            if num <= i {
                dp[i] += dp[i-num]
            }
        }
    }
    return dp[target]
}
[sol1-Python3]
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class Solution:
    def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        dp = [1] + [0] * target
        for i in range(1, target + 1):
            for num in nums:
                if num <= i:
                    dp[i] += dp[i - num]
        
        return dp[target]
[sol1-C++]
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class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= target; i++) {
            for (int& num : nums) {
                if (num <= i && dp[i - num] < INT_MAX - dp[i]) {
                    dp[i] += dp[i - num];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};
[sol1-C]
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int combinationSum4(int* nums, int numsSize, int target) {
    int dp[target + 1];
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= target; i++) {
        for (int j = 0; j < numsSize; j++) {
            if (nums[j] <= i && dp[i - nums[j]] < INT_MAX - dp[i]) {
                dp[i] += dp[i - nums[j]];
            }
        }
    }
    return dp[target];
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：$O(\textit{target} \times n)$，其中 target 是目标值，$n$ 是数组 nums 的长度。需要计算长度为 target}+1$ 的数组 dp 的每个元素的值，对于每个元素，需要遍历数组 nums 之后计算元素值。

  • 空间复杂度：$O(\textit{target})$。需要创建长度为 target}+1$ 的数组 dp。

进阶问题

如果给定的数组中含有负数，则会导致出现无限长度的排列。

例如，假设数组 nums 中含有正整数 $a$ 和负整数 $-b$（其中 $a>0,b>0,-b<0$），则有 $a \times b + (-b) \times a=0$，对于任意一个元素之和等于 target 的排列，在该排列的后面添加 $b$ 个 $a$ 和 $a$ 个 $-b$ 之后，得到的新排列的元素之和仍然等于 target，而且还可以在新排列的后面继续 $b$ 个 $a$ 和 $a$ 个 $-b$。因此只要存在元素之和等于 target 的排列，就能构造出无限长度的排列。

如果允许负数出现，则必须限制排列的最大长度，避免出现无限长度的排列，才能计算排列数。

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