在 “100 game” 这个游戏中，两名玩家轮流选择从 1 到 10 的任意整数，累计整数和，先使得累计整数和 达到或超过 100
的玩家，即为胜者。
如果我们将游戏规则改为 “玩家 不能 重复使用整数” 呢？
例如，两个玩家可以轮流从公共整数池中抽取从 1 到 15 的整数（不放回），直到累计整数和 >= 100。
给定两个整数 maxChoosableInteger （整数池中可选择的最大数）和 desiredTotal（累计和），若先出手的玩家能稳赢则返回
true ，否则返回 false 。假设两位玩家游戏时都表现 最佳 。
示例 1：
**输入：** maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 11
**输出：** false
**解释：** 无论第一个玩家选择哪个整数，他都会失败。
第一个玩家可以选择从 1 到 10 的整数。
如果第一个玩家选择 1，那么第二个玩家只能选择从 2 到 10 的整数。
第二个玩家可以通过选择整数 10（那么累积和为 11 >= desiredTotal），从而取得胜利.
同样地，第一个玩家选择任意其他整数，第二个玩家都会赢。
示例 2:
**输入：** maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 0
**输出：** true
示例 3:
**输入：** maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 1
**输出：** true
提示:
1 <= maxChoosableInteger <= 200 <= desiredTotal <= 300
方法一：记忆化搜索 + 状态压缩
思路
考虑边界情况，当所有数字选完仍无法到达 desiredTotal 时，两人都无法获胜，返回 false。当所有数字的和大于等于 desiredTotal 时，其中一方能获得胜利，需要通过搜索来判断获胜方。
在游戏中途，假设已经被使用的数字的集合为 usedNumbers，这些数字的和为 currentTotal。当某方行动时，如果他能在未选择的数字中选出一个 $i$，使得 $i + \textit{currentTotal} \geq \textit{desiredTotal，则他能获胜。否则，需要继续通过搜索来判断获胜方。在剩下的数字中，如果他能选择一个 $i$，使得对方在接下来的局面中无法获胜，则他会获胜。否则，他会失败。
根据这个思想设计搜索函数 dfs，其中 usedNumbers 可以用一个整数来表示，从低位到高位，第 $i$ 位为 $1$ 则表示数字 $i$ 已经被使用，为 $0$ 则表示数字 $i$ 未被使用。如果当前玩家获胜，则返回 true，否则返回 false。为了避免重复计算，需要使用记忆化的操作来降低时间复杂度。
代码
[sol1-Python3]1
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| class Solution:
def canIWin(self, maxChoosableInteger: int, desiredTotal: int) -> bool:
@cache
def dfs(usedNumbers: int, currentTotal: int) -> bool:
for i in range(maxChoosableInteger):
if (usedNumbers >> i) & 1 == 0:
if currentTotal + i + 1 >= desiredTotal or not dfs(usedNumbers | (1 << i), currentTotal + i + 1):
return True
return False
return (1 + maxChoosableInteger) * maxChoosableInteger // 2 >= desiredTotal and dfs(0, 0)
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[sol1-Java]1
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| class Solution {
Map<Integer, Boolean> memo = new HashMap<Integer, Boolean>();
public boolean canIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal) {
if ((1 + maxChoosableInteger) * (maxChoosableInteger) / 2 < desiredTotal) {
return false;
}
return dfs(maxChoosableInteger, 0, desiredTotal, 0);
}
public boolean dfs(int maxChoosableInteger, int usedNumbers, int desiredTotal, int currentTotal) {
if (!memo.containsKey(usedNumbers)) {
boolean res = false;
for (int i = 0; i < maxChoosableInteger; i++) {
if (((usedNumbers >> i) & 1) == 0) {
if (i + 1 + currentTotal >= desiredTotal) {
res = true;
break;
}
if (!dfs(maxChoosableInteger, usedNumbers | (1 << i), desiredTotal, currentTotal + i + 1)) {
res = true;
break;
}
}
}
memo.put(usedNumbers, res);
}
return memo.get(usedNumbers);
}
}
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| public class Solution {
Dictionary<int, bool> memo = new Dictionary<int, bool>();
public bool CanIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal) {
if ((1 + maxChoosableInteger) * (maxChoosableInteger) / 2 < desiredTotal) {
return false;
}
return DFS(maxChoosableInteger, 0, desiredTotal, 0);
}
public bool DFS(int maxChoosableInteger, int usedNumbers, int desiredTotal, int currentTotal) {
if (!memo.ContainsKey(usedNumbers)) {
bool res = false;
for (int i = 0; i < maxChoosableInteger; i++) {
if (((usedNumbers >> i) & 1) == 0) {
if (i + 1 + currentTotal >= desiredTotal) {
res = true;
break;
}
if (!DFS(maxChoosableInteger, usedNumbers | (1 << i), desiredTotal, currentTotal + i + 1)) {
res = true;
break;
}
}
}
memo.Add(usedNumbers, res);
}
return memo[usedNumbers];
}
}
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| class Solution {
public:
unordered_map<int, bool> memo;
bool canIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal) {
if ((1 + maxChoosableInteger) * (maxChoosableInteger) / 2 < desiredTotal) {
return false;
}
return dfs(maxChoosableInteger, 0, desiredTotal, 0);
}
bool dfs(int maxChoosableInteger, int usedNumbers, int desiredTotal, int currentTotal) {
if (!memo.count(usedNumbers)) {
bool res = false;
for (int i = 0; i < maxChoosableInteger; i++) {
if (((usedNumbers >> i) & 1) == 0) {
if (i + 1 + currentTotal >= desiredTotal) {
res = true;
break;
}
if (!dfs(maxChoosableInteger, usedNumbers | (1 << i), desiredTotal, currentTotal + i + 1)) {
res = true;
break;
}
}
}
memo[usedNumbers] = res;
}
return memo[usedNumbers];
}
};
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| typedef struct HashItem {
int key;
bool val;
UT_hash_handle hh;
} HashItem;
bool dfs(int maxChoosableInteger, int usedNumbers, int desiredTotal, int currentTotal, HashItem **memo) {
HashItem *pEntry = NULL;
HASH_FIND_INT(*memo, &usedNumbers, pEntry);
if (NULL == pEntry) {
bool res = false;
for (int i = 0; i < maxChoosableInteger; i++) {
if (((usedNumbers >> i) & 1) == 0) {
if (i + 1 + currentTotal >= desiredTotal) {
res = true;
break;
}
if (!dfs(maxChoosableInteger, usedNumbers | (1 << i), desiredTotal, currentTotal + i + 1, memo)) {
res = true;
break;
}
}
}
pEntry = (HashItem *)malloc(sizeof(HashItem));
pEntry->key = usedNumbers;
pEntry->val = res;
HASH_ADD_INT(*memo, key, pEntry);
}
return pEntry->val;
}
bool canIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal) {
HashItem *memo = NULL;
if ((1 + maxChoosableInteger) * (maxChoosableInteger) / 2 < desiredTotal) {
return false;
}
return dfs(maxChoosableInteger, 0, desiredTotal, 0, &memo);
}
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| func canIWin(maxChoosableInteger, desiredTotal int) bool {
if (1+maxChoosableInteger)*maxChoosableInteger/2 < desiredTotal {
return false
}
dp := make([]int8, 1<<maxChoosableInteger)
for i := range dp {
dp[i] = -1
}
var dfs func(int, int) int8
dfs = func(usedNum, curTot int) (res int8) {
dv := &dp[usedNum]
if *dv != -1 {
return *dv
}
defer func() { *dv = res }()
for i := 0; i < maxChoosableInteger; i++ {
if usedNum>>i&1 == 0 && (curTot+i+1 >= desiredTotal || dfs(usedNum|1<<i, curTot+i+1) == 0) {
return 1
}
}
return
}
return dfs(0, 0) == 1
}
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| var canIWin = function(maxChoosableInteger, desiredTotal) {
const memo = new Map();
const dfs = (maxChoosableInteger, usedNumbers, desiredTotal, currentTotal) => {
if (!memo.has(usedNumbers)) {
let res = false;
for (let i = 0; i < maxChoosableInteger; i++) {
if (((usedNumbers >> i) & 1) === 0) {
if (i + 1 + currentTotal >= desiredTotal) {
res = true;
break;
}
if (!dfs(maxChoosableInteger, usedNumbers | (1 << i), desiredTotal, currentTotal + i + 1)) {
res = true;
break;
}
}
}
memo.set(usedNumbers, res);
}
return memo.get(usedNumbers);
}
if ((1 + maxChoosableInteger) * (maxChoosableInteger) / 2 < desiredTotal) {
return false;
}
return dfs(maxChoosableInteger, 0, desiredTotal, 0);
};
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复杂度分析
时间复杂度：$O(2 ^ n \times n)$，其中 $n = \textit{maxChoosableInteger。记忆化后，函数 dfs 最多调用 $O(2 ^ n)$ 次，每次消耗 $O(n)$ 时间，总时间复杂度为 $O(2 ^ n \times n)$。
空间复杂度：$O(2 ^ n)$，其中 $n = \textit{maxChoosableInteger。搜索的状态有 $O(2 ^ n)$ 种，需要消耗空间记忆化。
