0540-有序数组中的单一元素

Raphael Liu Lv10

给你一个仅由整数组成的有序数组,其中每个元素都会出现两次,唯有一个数只会出现一次。

请你找出并返回只出现一次的那个数。

你设计的解决方案必须满足 O(log n) 时间复杂度和 O(1) 空间复杂度。

示例 1:

**输入:** nums = [1,1,2,3,3,4,4,8,8]
**输出:** 2

示例 2:

**输入:** nums =  [3,3,7,7,10,11,11]
**输出:** 10

提示:

  • 1 <= nums.length <= 105
  • 0 <= nums[i] <= 105

方法一:全数组的二分查找

思路和算法

假设只出现一次的元素位于下标 x,由于其余每个元素都出现两次,因此下标 x 的左边和右边都有偶数个元素,数组的长度是奇数。

由于数组是有序的,因此数组中相同的元素一定相邻。对于下标 x 左边的下标 y,如果 nums}[y] = \textit{nums}[y + 1],则 y 一定是偶数;对于下标 x 右边的下标 z,如果 nums}[z] = \textit{nums}[z + 1],则 z 一定是奇数。由于下标 x 是相同元素的开始下标的奇偶性的分界,因此可以使用二分查找的方法寻找下标 x。

初始时,二分查找的左边界是 0,右边界是数组的最大下标。每次取左右边界的平均值 mid 作为待判断的下标,根据 mid 的奇偶性决定和左边或右边的相邻元素比较:

  • 如果 mid 是偶数,则比较 nums}[\textit{mid}] 和 nums}[\textit{mid} + 1] 是否相等;

  • 如果 mid 是奇数,则比较 nums}[\textit{mid} - 1] 和 nums}[\textit{mid}] 是否相等。

如果上述比较相邻元素的结果是相等,则 mid} < x,调整左边界,否则 mid} \ge x,调整右边界。调整边界之后继续二分查找,直到确定下标 x 的值。

得到下标 x 的值之后,nums}[x] 即为只出现一次的元素。

细节

利用按位异或的性质,可以得到 mid 和相邻的数之间的如下关系,其中 \oplus 是按位异或运算符:

  • 当 mid 是偶数时,mid} + 1 = \textit{mid} \oplus 1;

  • 当 mid 是奇数时,mid} - 1 = \textit{mid} \oplus 1。

因此在二分查找的过程中,不需要判断 mid 的奇偶性,mid 和 mid} \oplus 1 即为每次需要比较元素的两个下标。

代码

[sol1-Java]
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class Solution {
public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
int low = 0, high = nums.length - 1;
while (low < high) {
int mid = (high - low) / 2 + low;
if (nums[mid] == nums[mid ^ 1]) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid;
}
}
return nums[low];
}
}
[sol1-C#]
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public class Solution {
public int SingleNonDuplicate(int[] nums) {
int low = 0, high = nums.Length - 1;
while (low < high) {
int mid = (high - low) / 2 + low;
if (nums[mid] == nums[mid ^ 1]) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid;
}
}
return nums[low];
}
}
[sol1-C++]
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class Solution {
public:
int singleNonDuplicate(vector<int>& nums) {
int low = 0, high = nums.size() - 1;
while (low < high) {
int mid = (high - low) / 2 + low;
if (nums[mid] == nums[mid ^ 1]) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid;
}
}
return nums[low];
}
};
[sol1-C]
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int singleNonDuplicate(int* nums, int numsSize) {
int low = 0, high = numsSize - 1;
while (low < high) {
int mid = (high - low) / 2 + low;
if (nums[mid] == nums[mid ^ 1]) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid;
}
}
return nums[low];
}
[sol1-Golang]
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func singleNonDuplicate(nums []int) int {
low, high := 0, len(nums)-1
for low < high {
mid := low + (high-low)/2
if nums[mid] == nums[mid^1] {
low = mid + 1
} else {
high = mid
}
}
return nums[low]
}
[sol1-Python3]
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class Solution:
def singleNonDuplicate(self, nums: List[int]) -> int:
low, high = 0, len(nums) - 1
while low < high:
mid = (low + high) // 2
if nums[mid] == nums[mid ^ 1]:
low = mid + 1
else:
high = mid
return nums[low]
[sol1-JavaScript]
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var singleNonDuplicate = function(nums) {
let low = 0, high = nums.length - 1;
while (low < high) {
const mid = Math.floor((high - low) / 2) + low;
if (nums[mid] === nums[mid ^ 1]) {
low = mid + 1;
} else {
high = mid;
}
}
return nums[low];
};

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(\log n),其中 n 是数组 nums 的长度。需要在全数组范围内二分查找,二分查找的时间复杂度是 O(\log n)。

  • 空间复杂度:O(1)。

方法二:偶数下标的二分查找

思路和算法

由于只出现一次的元素所在下标 x 的左边有偶数个元素,因此下标 x 一定是偶数,可以在偶数下标范围内二分查找。二分查找的目标是找到满足 nums}[x] \ne \textit{nums}[x + 1] 的最小的偶数下标 x,则下标 x 处的元素是只出现一次的元素。

初始时,二分查找的左边界是 0,右边界是数组的最大偶数下标,由于数组的长度是奇数,因此数组的最大偶数下标等于数组的长度减 1。每次取左右边界的平均值 mid 作为待判断的下标,如果 mid 是奇数则将 mid 减 1,确保 mid 是偶数,比较 nums}[\textit{mid}] 和 nums}[\textit{mid} + 1] 是否相等,如果相等则 mid} < x,调整左边界,否则 mid} \ge x,调整右边界。调整边界之后继续二分查找,直到确定下标 x 的值。

得到下标 x 的值之后,nums}[x] 即为只出现一次的元素。

细节

考虑 mid 和 1 按位与运算的结果,其中 & 是按位与运算符:

  • 当 mid 是偶数时,mid}&1 = 0;

  • 当 mid 是奇数时,mid}&1 = 1。

因此在得到 mid 的值之后,将 mid 的值减去 mid}&1,即可确保 mid 是偶数,如果原来的 mid 是偶数则值不变,如果原来的 mid 是奇数则值减 1。

代码

[sol2-Java]
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class Solution {
public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
int low = 0, high = nums.length - 1;
while (low < high) {
int mid = (high - low) / 2 + low;
mid -= mid & 1;
if (nums[mid] == nums[mid + 1]) {
low = mid + 2;
} else {
high = mid;
}
}
return nums[low];
}
}
[sol2-C#]
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public class Solution {
public int SingleNonDuplicate(int[] nums) {
int low = 0, high = nums.Length - 1;
while (low < high) {
int mid = (high - low) / 2 + low;
mid -= mid & 1;
if (nums[mid] == nums[mid + 1]) {
low = mid + 2;
} else {
high = mid;
}
}
return nums[low];
}
}
[sol2-C++]
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class Solution {
public:
int singleNonDuplicate(vector<int>& nums) {
int low = 0, high = nums.size() - 1;
while (low < high) {
int mid = (high - low) / 2 + low;
mid -= mid & 1;
if (nums[mid] == nums[mid + 1]) {
low = mid + 2;
} else {
high = mid;
}
}
return nums[low];
}
};
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int singleNonDuplicate(int* nums, int numsSize) {
int low = 0, high = numsSize - 1;
while (low < high) {
int mid = (high - low) / 2 + low;
mid -= mid & 1;
if (nums[mid] == nums[mid + 1]) {
low = mid + 2;
} else {
high = mid;
}
}
return nums[low];
}
[sol2-Golang]
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func singleNonDuplicate(nums []int) int {
low, high := 0, len(nums)-1
for low < high {
mid := low + (high-low)/2
mid -= mid & 1
if nums[mid] == nums[mid+1] {
low = mid + 2
} else {
high = mid
}
}
return nums[low]
}
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class Solution:
def singleNonDuplicate(self, nums: List[int]) -> int:
low, high = 0, len(nums) - 1
while low < high:
mid = (low + high) // 2
mid -= mid & 1
if nums[mid] == nums[mid + 1]:
low = mid + 2
else:
high = mid
return nums[low]
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var singleNonDuplicate = function(nums) {
let low = 0, high = nums.length - 1;
while (low < high) {
let mid = Math.floor((high - low) / 2) + low;
mid -= mid & 1;
if (nums[mid] === nums[mid + 1]) {
low = mid + 2;
} else {
high = mid;
}
}
return nums[low];
};

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(\log n),其中 n 是数组 nums 的长度。需要在偶数下标范围内二分查找,二分查找的时间复杂度是 O(\log n)。

  • 空间复杂度:O(1)。

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