0543-二叉树的直径

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 16:06:27 2023-09-13 16:06:27 Updated    

给你一棵二叉树的根节点，返回该树的 直径 。

二叉树的 直径 是指树中任意两个节点之间最长路径的 长度 。这条路径可能经过也可能不经过根节点 root 。

两节点之间路径的 长度 由它们之间边数表示。

示例 1：

**输入：** root = [1,2,3,4,5]
**输出：** 3
**解释：** 3 ，取路径 [4,2,1,3] 或 [5,2,1,3] 的长度。

示例 2：

**输入：** root = [1,2]
**输出：** 1

提示：

  • 树中节点数目在范围 [1, 104] 内
  • -100 <= Node.val <= 100

📺 视频题解

543.二叉树大直径.mp4

📖 文字题解

方法一：深度优先搜索

首先我们知道一条路径的长度为该路径经过的节点数减一，所以求直径（即求路径长度的最大值）等效于求路径经过节点数的最大值减一。

而任意一条路径均可以被看作由某个节点为起点，从其左儿子和右儿子向下遍历的路径拼接得到。

543.jpg

如图我们可以知道路径 [9, 4, 2, 5, 7, 8] 可以被看作以 2 为起点，从其左儿子向下遍历的路径 [2, 4, 9] 和从其右儿子向下遍历的路径 [2, 5, 7, 8] 拼接得到。

假设我们知道对于该节点的左儿子向下遍历经过最多的节点数 L （即以左儿子为根的子树的深度） 和其右儿子向下遍历经过最多的节点数 R （即以右儿子为根的子树的深度），那么以该节点为起点的路径经过节点数的最大值即为 L+R+1 。

我们记节点 node 为起点的路径经过节点数的最大值为 d_{\textit{node} ，那么二叉树的直径就是所有节点 d_{\textit{node} 的最大值减一。

最后的算法流程为：我们定义一个递归函数 depth(node) 计算 d_{\textit{node} ，函数返回该节点为根的子树的深度。先递归调用左儿子和右儿子求得它们为根的子树的深度 L 和 R ，则该节点为根的子树的深度即为

max(L,R)+1

该节点的 d_{\textit{node} 值为

L+R+1

递归搜索每个节点并设一个全局变量 ans 记录 d_\textit{node 的最大值，最后返回 ans-1 即为树的直径。

[sol1-Python3]
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class Solution:
    def diameterOfBinaryTree(self, root: TreeNode) -> int:
        self.ans = 1
        def depth(node):
            # 访问到空节点了，返回0
            if not node:
                return 0
            # 左儿子为根的子树的深度
            L = depth(node.left)
            # 右儿子为根的子树的深度
            R = depth(node.right)
            # 计算d_node即L+R+1 并更新ans
            self.ans = max(self.ans, L + R + 1)
            # 返回该节点为根的子树的深度
            return max(L, R) + 1

        depth(root)
        return self.ans - 1
[sol1-Java]
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class Solution {
    int ans;
    public int diameterOfBinaryTree(TreeNode root) {
        ans = 1;
        depth(root);
        return ans - 1;
    }
    public int depth(TreeNode node) {
        if (node == null) {
            return 0; // 访问到空节点了，返回0
        }
        int L = depth(node.left); // 左儿子为根的子树的深度
        int R = depth(node.right); // 右儿子为根的子树的深度
        ans = Math.max(ans, L+R+1); // 计算d_node即L+R+1 并更新ans
        return Math.max(L, R) + 1; // 返回该节点为根的子树的深度
    }
}
[sol1-C++]
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class Solution {
    int ans;
    int depth(TreeNode* rt){
        if (rt == NULL) {
            return 0; // 访问到空节点了，返回0
        }
        int L = depth(rt->left); // 左儿子为根的子树的深度
        int R = depth(rt->right); // 右儿子为根的子树的深度
        ans = max(ans, L + R + 1); // 计算d_node即L+R+1 并更新ans
        return max(L, R) + 1; // 返回该节点为根的子树的深度
    }
public:
    int diameterOfBinaryTree(TreeNode* root) {
        ans = 1;
        depth(root);
        return ans - 1;
    }
};

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(N)，其中 N 为二叉树的节点数，即遍历一棵二叉树的时间复杂度，每个结点只被访问一次。

  • 空间复杂度：O(Height)，其中 Height 为二叉树的高度。由于递归函数在递归过程中需要为每一层递归函数分配栈空间，所以这里需要额外的空间且该空间取决于递归的深度，而递归的深度显然为二叉树的高度，并且每次递归调用的函数里又只用了常数个变量，所以所需空间复杂度为 O(Height) 。

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