0558-四叉树交集

二进制矩阵中的所有元素不是 0 就是 1 。

给你两个四叉树，quadTree1 和 quadTree2。其中 quadTree1 表示一个 n * n 二进制矩阵，而
quadTree2 表示另一个 n * n 二进制矩阵。

请你返回一个表示 n * n 二进制矩阵的四叉树，它是 quadTree1 和 quadTree2 所表示的两个二进制矩阵进行
按位逻辑或运算 的结果。

注意，当 isLeaf 为 False 时，你可以把 True 或者 False 赋值给节点，两种值都会被判题机制 接受
。

四叉树数据结构中，每个内部节点只有四个子节点。此外，每个节点都有两个属性：

• val：储存叶子结点所代表的区域的值。1 对应 True ，0 对应 False ；

• isLeaf: 当这个节点是一个叶子结点时为 True ，如果它有 4 个子节点则为 False 。

  class Node {
  public boolean val;
      public boolean isLeaf;
      public Node topLeft;
      public Node topRight;
      public Node bottomLeft;
      public Node bottomRight;
  }

我们可以按以下步骤为二维区域构建四叉树：

1. 如果当前网格的值相同（即，全为 0 或者全为 1），将 isLeaf 设为 True ，将 val 设为网格相应的值，并将四个子节点都设为 Null 然后停止。
2. 如果当前网格的值不同，将 isLeaf 设为 False， 将 val 设为任意值，然后如下图所示，将当前网格划分为四个子网格。
3. 使用适当的子网格递归每个子节点。

如果你想了解更多关于四叉树的内容，可以参考 wiki 。

四叉树格式：

输出为使用层序遍历后四叉树的序列化形式，其中 null 表示路径终止符，其下面不存在节点。

它与二叉树的序列化非常相似。唯一的区别是节点以列表形式表示 [isLeaf, val] 。

如果 isLeaf 或者 val 的值为 True ，则表示它在列表 [isLeaf, val] 中的值为 1 ；如果 isLeaf
或者 val 的值为 False ，则表示值为 0 。

示例 1：

**输入：** quadTree1 = [[0,1],[1,1],[1,1],[1,0],[1,0]]
, quadTree2 = [[0,1],[1,1],[0,1],[1,1],[1,0],null,null,null,null,[1,0],[1,0],[1,1],[1,1]]
**输出：** [[0,0],[1,1],[1,1],[1,1],[1,0]]
**解释：** quadTree1 和 quadTree2 如上所示。由四叉树所表示的二进制矩阵也已经给出。
如果我们对这两个矩阵进行按位逻辑或运算，则可以得到下面的二进制矩阵，由一个作为结果的四叉树表示。
注意，我们展示的二进制矩阵仅仅是为了更好地说明题意，你无需构造二进制矩阵来获得结果四叉树。
![](https://assets.leetcode.com/uploads/2020/02/11/qtr.png)

示例 2：

**输入：** quadTree1 = [[1,0]]
, quadTree2 = [[1,0]]
**输出：** [[1,0]]
**解释：** 两个数所表示的矩阵大小都为 1*1，值全为 0 
结果矩阵大小为 1*1，值全为 0 。

示例 3：

**输入：** quadTree1 = [[0,0],[1,0],[1,0],[1,1],[1,1]]
, quadTree2 = [[0,0],[1,1],[1,1],[1,0],[1,1]]
**输出：** [[1,1]]

示例 4：

**输入：** quadTree1 = [[0,0],[1,1],[1,0],[1,1],[1,1]]
, quadTree2 = [[0,0],[1,1],[0,1],[1,1],[1,1],null,null,null,null,[1,1],[1,0],[1,0],[1,1]]
**输出：** [[0,0],[1,1],[0,1],[1,1],[1,1],null,null,null,null,[1,1],[1,0],[1,0],[1,1]]

示例 5：

**输入：** quadTree1 = [[0,1],[1,0],[0,1],[1,1],[1,0],null,null,null,null,[1,0],[1,0],[1,1],[1,1]]
, quadTree2 = [[0,1],[0,1],[1,0],[1,1],[1,0],[1,0],[1,0],[1,1],[1,1]]
**输出：** [[0,0],[0,1],[0,1],[1,1],[1,0],[1,0],[1,0],[1,1],[1,1],[1,0],[1,0],[1,1],[1,1]]

提示：

• quadTree1 和 quadTree2 都是符合题目要求的四叉树，每个都代表一个 n * n 的矩阵。
• n == 2^x ，其中 0 <= x <= 9.

方法一：分治

思路与算法

题目给出两棵「四叉树」——quadTree}_1，和 quadTree}_2，它们分别代表一个 n \times n 的矩阵，且每一个子节点都是父节点对应矩阵区域的 \dfrac{1/4 区域：

• topLeft 节点为其父节点对应的矩阵区域左上角的 \dfrac{1/4 区域。
• topRight 节点为其父节点对应的矩阵区域右上角的 \dfrac{1/4 区域。
• bottomLeft 节点为其父节点对应的矩阵区域左下角的 \dfrac{1/4 区域。
• bottomRight 节点为其父节点对应的矩阵区域右下角的 \dfrac{1/4 区域。

我们需要把这两个矩阵中的对应位置的值进行「或」操作，然后返回操作后的矩阵即可。对于 \forall x \in {0,1\，有 0 | x = x 和 1 | x = 1 成立。那么我们按照两棵树的对应的节点来进行合并操作，假设当前我们操作的两个节点分别为 node}_1 和 node}_2，记节点的合并操作为 node}_1 | \textit{node}_2：

1. node}_1 为叶子节点时：
   • 如果 node}_1 的值为 1，那么 node}_1 | \textit{node}_2 = \textit{node}_1。
   • 否则 node}_1 | \textit{node}_2 = \textit{node}_2。
2. node}_2 为叶子节点时：
   • 如果 node}_2 的值为 1，那么 node}_1 | \textit{node}_2 = \textit{node}_2。
   • 否则 node}_1 | \textit{node}_2 = \textit{node}_1。
3. 两者都不是叶子节点时：那么分别对两者的四个子节点来进行对应的分治处理——分别进行合并操作，然后再判断合并后的四个子节点的对应区域是否都为一个全 0 或者全 1 区域，如果是则原节点为叶子节点，否则原节点不是叶子节点，且四个子节点为上面合并操作后的四个对应子节点。

代码

[sol1-Python3]

class Solution:
    def intersect(self, quadTree1: 'Node', quadTree2: 'Node') -> 'Node':
        if quadTree1.isLeaf:
            return Node(True, True) if quadTree1.val else quadTree2
        if quadTree2.isLeaf:
            return self.intersect(quadTree2, quadTree1)
        o1 = self.intersect(quadTree1.topLeft, quadTree2.topLeft)
        o2 = self.intersect(quadTree1.topRight, quadTree2.topRight)
        o3 = self.intersect(quadTree1.bottomLeft, quadTree2.bottomLeft)
        o4 = self.intersect(quadTree1.bottomRight, quadTree2.bottomRight)
        if o1.isLeaf and o2.isLeaf and o3.isLeaf and o4.isLeaf and o1.val == o2.val == o3.val == o4.val:
            return Node(o1.val, True)
        return Node(False, False, o1, o2, o3, o4)

[sol1-C++]

class Solution {
public:
    Node* intersect(Node* quadTree1, Node* quadTree2) {
        if (quadTree1->isLeaf) {
            if (quadTree1->val) {
                return new Node(true, true);
            }
            return new Node(quadTree2->val, quadTree2->isLeaf, quadTree2->topLeft, quadTree2->topRight, quadTree2->bottomLeft, quadTree2->bottomRight);
        }
        if (quadTree2->isLeaf) {
            return intersect(quadTree2, quadTree1);
        }
        Node* o1 = intersect(quadTree1->topLeft, quadTree2->topLeft);
        Node* o2 = intersect(quadTree1->topRight, quadTree2->topRight);
        Node* o3 = intersect(quadTree1->bottomLeft, quadTree2->bottomLeft);
        Node* o4 = intersect(quadTree1->bottomRight, quadTree2->bottomRight);
        if (o1->isLeaf && o2->isLeaf && o3->isLeaf && o4->isLeaf && o1->val == o2->val && o1->val == o3->val && o1->val == o4->val) {
            return new Node(o1->val, true);
        }
        return new Node(false, false, o1, o2, o3, o4);
    }
};

[sol1-Java]

class Solution {
    public Node intersect(Node quadTree1, Node quadTree2) {
        if (quadTree1.isLeaf) {
            if (quadTree1.val) {
                return new Node(true, true);
            }
            return new Node(quadTree2.val, quadTree2.isLeaf, quadTree2.topLeft, quadTree2.topRight, quadTree2.bottomLeft, quadTree2.bottomRight);
        }
        if (quadTree2.isLeaf) {
            return intersect(quadTree2, quadTree1);
        }
        Node o1 = intersect(quadTree1.topLeft, quadTree2.topLeft);
        Node o2 = intersect(quadTree1.topRight, quadTree2.topRight);
        Node o3 = intersect(quadTree1.bottomLeft, quadTree2.bottomLeft);
        Node o4 = intersect(quadTree1.bottomRight, quadTree2.bottomRight);
        if (o1.isLeaf && o2.isLeaf && o3.isLeaf && o4.isLeaf && o1.val == o2.val && o1.val == o3.val && o1.val == o4.val) {
            return new Node(o1.val, true);
        }
        return new Node(false, false, o1, o2, o3, o4);
    }
}

[sol1-C#]

public class Solution {
    public Node Intersect(Node quadTree1, Node quadTree2) {
        if (quadTree1.isLeaf) {
            if (quadTree1.val) {
                return new Node(true, true);
            }
            return new Node(quadTree2.val, quadTree2.isLeaf, quadTree2.topLeft, quadTree2.topRight, quadTree2.bottomLeft, quadTree2.bottomRight);
        }
        if (quadTree2.isLeaf) {
            return Intersect(quadTree2, quadTree1);
        }
        Node o1 = Intersect(quadTree1.topLeft, quadTree2.topLeft);
        Node o2 = Intersect(quadTree1.topRight, quadTree2.topRight);
        Node o3 = Intersect(quadTree1.bottomLeft, quadTree2.bottomLeft);
        Node o4 = Intersect(quadTree1.bottomRight, quadTree2.bottomRight);
        if (o1.isLeaf && o2.isLeaf && o3.isLeaf && o4.isLeaf && o1.val == o2.val && o1.val == o3.val && o1.val == o4.val) {
            return new Node(o1.val, true);
        }
        return new Node(false, false, o1, o2, o3, o4);
    }
}

[sol1-Golang]

func intersect(quadTree1, quadTree2 *Node) *Node {
    if quadTree1.IsLeaf {
        if quadTree1.Val {
            return &Node{Val: true, IsLeaf: true}
        }
        return quadTree2
    }
    if quadTree2.IsLeaf {
        return intersect(quadTree2, quadTree1)
    }
    o1 := intersect(quadTree1.TopLeft, quadTree2.TopLeft)
    o2 := intersect(quadTree1.TopRight, quadTree2.TopRight)
    o3 := intersect(quadTree1.BottomLeft, quadTree2.BottomLeft)
    o4 := intersect(quadTree1.BottomRight, quadTree2.BottomRight)
    if o1.IsLeaf && o2.IsLeaf && o3.IsLeaf && o4.IsLeaf && o1.Val == o2.Val && o1.Val == o3.Val && o1.Val == o4.Val {
        return &Node{Val: o1.Val, IsLeaf: true}
    }
    return &Node{false, false, o1, o2, o3, o4}
}

[sol1-JavaScript]

var intersect = function(quadTree1, quadTree2) {
    if (quadTree1.isLeaf) {
        if (quadTree1.val) {
            return new Node(true, true);
        }
        return new Node(quadTree2.val, quadTree2.isLeaf, quadTree2.topLeft, quadTree2.topRight, quadTree2.bottomLeft, quadTree2.bottomRight);
    }
    if (quadTree2.isLeaf) {
        return intersect(quadTree2, quadTree1);
    }
    const o1 = intersect(quadTree1.topLeft, quadTree2.topLeft);
    const o2 = intersect(quadTree1.topRight, quadTree2.topRight);
    const o3 = intersect(quadTree1.bottomLeft, quadTree2.bottomLeft);
    const o4 = intersect(quadTree1.bottomRight, quadTree2.bottomRight);
    if (o1.isLeaf && o2.isLeaf && o3.isLeaf && o4.isLeaf && o1.val === o2.val && o1.val === o3.val && o1.val === o4.val) {
        return new Node(o1.val, true);
    }
    return new Node(false, false, o1, o2, o3, o4);
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)，其中 n 是四叉树 quadTree}_1 和 quadTree}_2 对应矩阵的边长。最坏的情况下，整个矩阵都会被遍历。

• 空间复杂度：O(\log n)，其中 n 是四叉树 quadTree}_1 和 quadTree}_2 对应矩阵的边长。空间开销主要为递归的空间开销。