0842-将数组拆分成斐波那契序列

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 16:06:25 2023-09-13 16:06:25 Updated    

给定一个数字字符串 num，比如 "123456579"，我们可以将它分成「斐波那契式」的序列 [123, 456, 579]。

形式上， **斐波那契式 **序列是一个非负整数列表 f，且满足：

  • 0 <= f[i] < 231 ，（也就是说，每个整数都符合 32 位 有符号整数类型）
  • f.length >= 3
  • 对于所有的0 <= i < f.length - 2，都有 f[i] + f[i + 1] = f[i + 2]

另外，请注意，将字符串拆分成小块时，每个块的数字一定不要以零开头，除非这个块是数字 0 本身。

返回从 num 拆分出来的任意一组斐波那契式的序列块，如果不能拆分则返回 []。

示例 1：

**输入：** num = "1101111"
**输出：** [11,0,11,11]
**解释：** 输出[110,1,111]也可以。

示例 2：

**输入:** num = "112358130"
**输出:** []
**解释:** 无法拆分。

示例 3：

**输入：** "0123"
**输出：** []
**解释：** 每个块的数字不能以零开头，因此 "01"，"2"，"3" 不是有效答案。

提示：

  • 1 <= num.length <= 200
  • num 中只含有数字

方法一：回溯 + 剪枝

将给定的字符串拆分成斐波那契式序列，可以通过回溯的方法实现。

使用列表存储拆分出的数，回溯过程中维护该列表的元素，列表初始为空。遍历字符串的所有可能的前缀，作为当前被拆分出的数，然后对剩余部分继续拆分，直到整个字符串拆分完毕。

根据斐波那契式序列的要求，从第 3 个数开始，每个数都等于前 2 个数的和，因此从第 3 个数开始，需要判断拆分出的数是否等于前 2 个数的和，只有满足要求时才进行拆分，否则不进行拆分。

回溯过程中，还有三处可以进行剪枝操作。

  • 拆分出的数如果不是 0，则不能以 0 开头，因此如果字符串剩下的部分以 0 开头，就不需要考虑拆分出长度大于 1 的数，因为长度大于 1 的数以 0 开头是不符合要求的，不可能继续拆分得到斐波那契式序列；

  • 拆分出的数必须符合 32 位有符号整数类型，即每个数必须在 [0,2^{31}-1] 的范围内，如果拆分出的数大于 2^{31}-1，则不符合要求，长度更大的数的数值也一定更大，一定也大于 2^{31}-1，因此不可能继续拆分得到斐波那契式序列；

  • 如果列表中至少有 2 个数，并且拆分出的数已经大于最后 2 个数的和，就不需要继续尝试拆分了。

当整个字符串拆分完毕时，如果列表中至少有 3 个数，则得到一个符合要求的斐波那契式序列，返回列表。如果没有找到符合要求的斐波那契式序列，则返回空列表。

实现方面，回溯需要带返回值，表示是否存在符合要求的斐波那契式序列。

[sol1-Java]
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class Solution {
    public List<Integer> splitIntoFibonacci(String num) {
        List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
        backtrack(list, num, num.length(), 0, 0, 0);
        return list;
    }

    public boolean backtrack(List<Integer> list, String num, int length, int index, int sum, int prev) {
        if (index == length) {
            return list.size() >= 3;
        }
        long currLong = 0;
        for (int i = index; i < length; i++) {
            if (i > index && num.charAt(index) == '0') {
                break;
            }
            currLong = currLong * 10 + num.charAt(i) - '0';
            if (currLong > Integer.MAX_VALUE) {
                break;
            }
            int curr = (int) currLong;
            if (list.size() >= 2) {
                if (curr < sum) {
                    continue;
                } else if (curr > sum) {
                    break;
                }
            }
            list.add(curr);
            if (backtrack(list, num, length, i + 1, prev + curr, curr)) {
                return true;
            } else {
                list.remove(list.size() - 1);
            }
        }
        return false;
    }
}
[sol1-C++]
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class Solution {
public:
    vector<int> splitIntoFibonacci(string num) {
        vector<int> list;
        backtrack(list, num, num.length(), 0, 0, 0);
        return list;
    }

    bool backtrack(vector<int>& list, string num, int length, int index, long long sum, int prev) {
        if (index == length) {
            return list.size() >= 3;
        }
        long long curr = 0;
        for (int i = index; i < length; i++) {
            if (i > index && num[index] == '0') {
                break;
            }
            curr = curr * 10 + num[i] - '0';
            if (curr > INT_MAX) {
                break;
            }
            if (list.size() >= 2) {
                if (curr < sum) {
                    continue;
                }
                else if (curr > sum) {
                    break;
                }
            }
            list.push_back(curr);
            if (backtrack(list, num, length, i + 1, prev + curr, curr)) {
                return true;
            }
            list.pop_back();
        }
        return false;
    }
};
[sol1-JavaScript]
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var splitIntoFibonacci = function(num) {
    const list = new Array().fill(0);
    backtrack(list, num, num.length, 0, 0, 0);
    return list;
};

const backtrack = (list, num, length, index, sum, prev) => {
    if (index === length) {
        return list.length >= 3;
    }
    let currLong = 0;
    for (let i = index; i < length; i++) {
        if (i > index && num[index] === '0') {
            break;
        }
        currLong = currLong * 10 + num[i].charCodeAt() - '0'.charCodeAt();
        if (currLong > Math.pow(2, 31) - 1) {
            break;
        }
        let curr = currLong;
        if (list.length >= 2) {
            if (curr < sum) {
                continue;
            } else if (curr > sum) {
                break;
            }
        }
        list.push(curr);
        if (backtrack(list, num, length, i + 1, prev + curr, curr)) {
            return true;
        } else {
            list.splice(list.length - 1, 1);
        }
    }
    return false;
}
[sol1-Python3]
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class Solution:
    def splitIntoFibonacci(self, num: str) -> List[int]:
        ans = list()

        def backtrack(index: int):
            if index == len(num):
                return len(ans) >= 3
            
            curr = 0
            for i in range(index, len(num)):
                if i > index and num[index] == "0":
                    break
                curr = curr * 10 + ord(num[i]) - ord("0")
                if curr > 2**31 - 1:
                    break
                
                if len(ans) < 2 or curr == ans[-2] + ans[-1]:
                    ans.append(curr)
                    if backtrack(i + 1):
                        return True
                    ans.pop()
                elif len(ans) > 2 and curr > ans[-2] + ans[-1]:
                    break
        
            return False
        
        backtrack(0)
        return ans
[sol1-Golang]
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func splitIntoFibonacci(num string) (F []int) {
    n := len(num)
    var backtrack func(index, sum, prev int) bool
    backtrack = func(index, sum, prev int) bool {
        if index == n {
            return len(F) >= 3
        }

        cur := 0
        for i := index; i < n; i++ {
            // 每个块的数字一定不要以零开头，除非这个块是数字 0 本身
            if i > index && num[index] == '0' {
                break
            }

            cur = cur*10 + int(num[i]-'0')
            // 拆出的整数要符合 32 位有符号整数类型
            if cur > math.MaxInt32 {
                break
            }

            // F[i] + F[i+1] = F[i+2]
            if len(F) >= 2 {
                if cur < sum {
                    continue
                }
                if cur > sum {
                    break
                }
            }

            // cur 符合要求，加入序列 F
            F = append(F, cur)
            if backtrack(i+1, prev+cur, cur) {
                return true
            }
            F = F[:len(F)-1]
        }
        return false
    }
    backtrack(0, 0, 0)
    return
}
[sol1-C]
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bool backtrack(int* list, int* listSize, char* num, int length, int index, long long sum, int prev) {
    if (index == length) {
        return (*listSize) >= 3;
    }
    long long curr = 0;
    for (int i = index; i < length; i++) {
        if (i > index && num[index] == '0') {
            break;
        }
        curr = curr * 10 + num[i] - '0';
        if (curr > INT_MAX) {
            break;
        }
        if ((*listSize) >= 2) {
            if (curr < sum) {
                continue;
            } else if (curr > sum) {
                break;
            }
        }
        list[(*listSize)++] = curr;
        if (backtrack(list, listSize, num, length, i + 1, prev + curr, curr)) {
            return true;
        }
        (*listSize)--;
    }
    return false;
}

int* splitIntoFibonacci(char* num, int* returnSize) {
    int n = strlen(num);
    int* list = malloc(sizeof(int) * n);
    *returnSize = 0;
    backtrack(list, returnSize, num, strlen(num), 0, 0, 0);
    return list;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n \log^2 C)，其中 n 是字符串的长度，C 是题目规定的整数范围 2^{31}-1。在回溯的过程中，实际上真正进行「回溯」的只有前 2 个数，而从第 3 个数开始，整个斐波那契数列是可以被唯一确定的，整个回溯过程只起到验证（而不是枚举）的作用。对于前 2 个数，它们的位数不能超过 \lfloor \log_{10} C \rfloor，那么枚举的空间为 O(\log^2 C)；对于后面的所有数，回溯的过程是没有「分支」的，因此时间复杂度为 O(n)，相乘即可得到总时间复杂度 O(n \log^2 C)。

  • 空间复杂度：O(n)，其中 n 是字符串的长度。除了返回值以外，空间复杂度主要取决于回溯过程中的递归调用层数，最大为 n。

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