0972-相等的有理数

给定两个字符串 s 和 t ，每个字符串代表一个非负有理数，只有当它们表示相同的数字时才返回 true
。字符串中可以使用括号来表示有理数的重复部分。

有理数 最多可以用三个部分来表示： 整数部分 <IntegerPart>、 小数非重复部分
<NonRepeatingPart> 和 小数重复部分 <(><RepeatingPart><)>。数字可以用以下三种方法之一来表示：

• <IntegerPart>
  • 例： 0 ,12 和 123
• <IntegerPart><.><NonRepeatingPart>
  • 例： 0.5 , ``1. , 2.12 和 123.0001
• <IntegerPart><.><NonRepeatingPart><(><RepeatingPart><)>
  • 例： 0.1(6) ， 1.(9)， 123.00(1212)

十进制展开的重复部分通常在一对圆括号内表示。例如：

• 1 / 6 = 0.16666666... = 0.1(6) = 0.1666(6) = 0.166(66)

示例 1：

**输入：** s = "0.(52)", t = "0.5(25)"
**输出：** true
**解释：** 因为 "0.(52)" 代表 0.52525252...，而 "0.5(25)" 代表 0.52525252525.....，则这两个字符串表示相同的数字。

示例 2：

**输入：** s = "0.1666(6)", t = "0.166(66)"
**输出：** true

示例 3：

**输入：** s = "0.9(9)", t = "1."
**输出：** true
**解释：** "0.9(9)" 代表 0.999999999... 永远重复，等于 1 。[[有关说明，请参阅此链接](https://baike.baidu.com/item/0.999…/5615429?fr=aladdin)]
"1." 表示数字 1，其格式正确：(IntegerPart) = "1" 且 (NonRepeatingPart) = "" 。

提示：

• 每个部分仅由数字组成。
• 整数部分 <IntegerPart> 不会以零开头。（零本身除外）
• 1 <= <IntegerPart>.length <= 4
• 0 <= <NonRepeatingPart>.length <= 4
• 1 <= <RepeatingPart>.length <= 4

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方法：分数类

思路

因为给定的两个数字都表示一个分数，所以我们需要一个分数类去处理这两个分数。它应该能帮助我们将两个分数加起来，并且保证答案为最简形式。

算法

我们需要理解给定的两个分数，最困难的问题是如何表示它们。

比如说我们有一个字符串 S = "0.(12)"。它代表（定义 r = 1/100）：

S = 12/100} + 12/10000} + 12/10^6} + 12/10^8} + 12/10^{10}} + \cdots

S = 12 * (r + r^2 + r^3 + \cdots)

S = 12 * r}{1-r}

其中 (r + r^2 + r^3 + \cdots) 是一个等比数列求和问题。

总而言之，对于长度为 k 的重复部分 x，会对答案有 xr}{1-r 的贡献，其中 r = 10^{-k。

另外两部分就更容易计算了，因为它们仅仅是对数值的简单翻译。

[QFRcSJ8K-Java]

class Solution {
    public boolean isRationalEqual(String S, String T) {
        Fraction f1 = convert(S);
        Fraction f2 = convert(T);
        return f1.n == f2.n && f1.d == f2.d;
    }

    public Fraction convert(String S) {
        int state = 0; //whole, decimal, repeating
        Fraction ans = new Fraction(0, 1);
        int decimal_size = 0;

        for (String part: S.split("[.()]")) {
            state++;
            if (part.isEmpty()) continue;
            long x = Long.valueOf(part);
            int sz = part.length();

            if (state == 1) { // whole
                 ans.iadd(new Fraction(x, 1));
            } else if (state == 2) { // decimal
                 ans.iadd(new Fraction(x, (long) Math.pow(10, sz)));
                 decimal_size = sz;
            } else { // repeating
                 long denom = (long) Math.pow(10, decimal_size);
                 denom *= (long) (Math.pow(10, sz) - 1);
                 ans.iadd(new Fraction(x, denom));
            }
        }
        return ans;
    }
}

class Fraction {
    long n, d;
    Fraction(long n, long d) {
        long g = gcd(n, d);
        this.n = n / g;
        this.d = d / g;
    }

    public void iadd(Fraction other) {
        long numerator = this.n * other.d + this.d * other.n;
        long denominator = this.d * other.d;
        long g = Fraction.gcd(numerator, denominator);
        this.n = numerator / g;
        this.d = denominator / g;
    }

    static long gcd(long x, long y) {
        return x != 0 ? gcd(y % x, x) : y;
    }
}

[QFRcSJ8K-Python]

from fractions import Fraction

class Solution(object):
    def isRationalEqual(self, S, T):
        def convert(S):
            if '.' not in S:
                return Fraction(int(S), 1)
            i = S.index('.')
            ans = Fraction(int(S[:i]), 1)
            S = S[i+1:]
            if '(' not in S:
                if S:
                    ans += Fraction(int(S), 10 ** len(S))
                return ans

            i = S.index('(')
            if i:
                ans += Fraction(int(S[:i]), 10 ** i)
            S = S[i+1:-1]
            j = len(S)
            ans += Fraction(int(S), 10**i * (10**j - 1))
            return ans

        return convert(S) == convert(T)

复杂度分析

• 时间复杂度：O(1)，因为字符串 S, T 的长度可以看作是 O(1) 级别的。

• 空间复杂度：O(1)。