0983-最低票价

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 16:06:26 2023-09-13 16:06:26 Updated    

在一个火车旅行很受欢迎的国度，你提前一年计划了一些火车旅行。在接下来的一年里，你要旅行的日子将以一个名为 days 的数组给出。每一项是一个从 1
到 365 的整数。

火车票有 三种不同的销售方式 ：

  • 一张 为期一天 的通行证售价为 costs[0] 美元；
  • 一张 为期七天 的通行证售价为 costs[1] 美元；
  • 一张 为期三十天 的通行证售价为 costs[2] 美元。

通行证允许数天无限制的旅行。 例如，如果我们在第 2 天获得一张 为期 7 天 的通行证，那么我们可以连着旅行 7 天：第 2 天、第
3 天、第 4 天、第 5 天、第 6 天、第 7 天和第 8 天。

返回 _你想要完成在给定的列表 days 中列出的每一天的旅行所需要的最低消费 _。

示例 1：

**输入：** days = [1,4,6,7,8,20], costs = [2,7,15]
**输出：** 11
**解释：**
例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划：
在第 1 天，你花了 costs[0] = 2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 1 天生效。
在第 3 天，你花了 costs[1] = 7 买了一张为期 7 天的通行证，它将在第 3, 4, ..., 9 天生效。
在第 20 天，你花了 costs[0] = 2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 20 天生效。
你总共花了 11，并完成了你计划的每一天旅行。

示例 2：

**输入：** days = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,30,31], costs = [2,7,15]
**输出：** 17
**解释：** 例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划： 
在第 1 天，你花了 costs[2] = 15 买了一张为期 30 天的通行证，它将在第 1, 2, ..., 30 天生效。
在第 31 天，你花了 costs[0] = 2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 31 天生效。 
你总共花了 17，并完成了你计划的每一天旅行。

提示：

  • 1 <= days.length <= 365
  • 1 <= days[i] <= 365
  • days 按顺序严格递增
  • costs.length == 3
  • 1 <= costs[i] <= 1000

📺 视频题解

983. 最低票价.mp4

📖 文字题解

方法一：记忆化搜索（日期变量型）

思路和算法

我们用 dp}(i) 来表示从第 i 天开始到一年的结束，我们需要花的钱。考虑到一张通行证可以让我们在「接下来」的若干天进行旅行，所以我们「从后往前」倒着进行动态规划。

对于一年中的任意一天：

  • 如果这一天不是必须出行的日期，那我们可以贪心地选择不买。这是因为如果今天不用出行，那么也不必购买通行证，并且通行证越晚买越好。所以有 dp}(i) = \textit{dp}(i + 1)；

  • 如果这一天是必须出行的日期，我们可以选择买 1，7 或 30 天的通行证。若我们购买了 j 天的通行证，那么接下来的 j - 1 天，我们都不再需要购买通行证，只需要考虑第 i + j 天及以后即可。因此，我们有

    \textit{dp}(i) = \min{\textit{cost}(j) + \textit{dp}(i + j)}, \quad j \in {1, 7, 30}

    其中 cost}(j) 表示 j 天通行证的价格。为什么我们只需要考虑第 i+j 天及以后呢？这里和第一条的贪心思路是一样的，如果我们需要购买通行证，那么一定越晚买越好，在握着一张有效的通行证的时候购买其它的通行证显然是不划算的。

由于我们是倒着进行动态规划的，因此我们可以使用记忆化搜索，减少代码的编写难度。我们使用一个长度为 366 的数组（因为天数是 [1, 365]，而数组的下标是从 0 开始的）存储所有的动态规划结果，这样所有的 dp}(i) 只会被计算一次（和普通的动态规划相同），时间复杂度不会增大。

最终的答案记为 dp}(1)。

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class Solution {
    int[] costs;
    Integer[] memo;
    Set<Integer> dayset;

    public int mincostTickets(int[] days, int[] costs) {
        this.costs = costs;
        memo = new Integer[366];
        dayset = new HashSet();
        for (int d: days) {
            dayset.add(d);
        }
        return dp(1);
    }

    public int dp(int i) {
        if (i > 365) {
            return 0;
        }
        if (memo[i] != null) {
            return memo[i];
        }
        if (dayset.contains(i)) {
            memo[i] = Math.min(Math.min(dp(i + 1) + costs[0], dp(i + 7) + costs[1]), dp(i + 30) + costs[2]);
        } else {
            memo[i] = dp(i + 1);
        }
        return memo[i];
    }
}
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class Solution:
    def mincostTickets(self, days: List[int], costs: List[int]) -> int:
        dayset = set(days)
        durations = [1, 7, 30]

        @lru_cache(None)
        def dp(i):
            if i > 365:
                return 0
            elif i in dayset:
                return min(dp(i + d) + c for c, d in zip(costs, durations))
            else:
                return dp(i + 1)

        return dp(1)
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class Solution {
    unordered_set<int> dayset;
    vector<int> costs;
    int memo[366] = {0};

public:
    int mincostTickets(vector<int>& days, vector<int>& costs) {
        this->costs = costs;
        for (int d: days) {
            dayset.insert(d);
        }
        memset(memo, -1, sizeof(memo));
        return dp(1);
    }

    int dp(int i) {
        if (i > 365) {
            return 0;
        }
        if (memo[i] != -1) {
            return memo[i];
        }
        if (dayset.count(i)) {
            memo[i] = min(min(dp(i + 1) + costs[0], dp(i + 7) + costs[1]), dp(i + 30) + costs[2]);
        } else {
            memo[i] = dp(i + 1);
        }
        return memo[i];
    }
};
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func mincostTickets(days []int, costs []int) int {
    memo := [366]int{}
    dayM := map[int]bool{}
    for _, d := range days {
        dayM[d] = true
    }

    var dp func(day int) int 
    dp = func(day int) int {
        if day > 365 {
            return 0
        }
        if memo[day] > 0 {
            return memo[day]
        }
        if dayM[day] {
            memo[day] = min(min(dp(day + 1) + costs[0], dp(day + 7) + costs[1]), dp(day + 30) + costs[2])
        } else {
            memo[day] = dp(day + 1)
        }
        return memo[day]
    }
    return dp(1)
}

func min(x, y int) int {
    if x < y {
        return x
    }
    return y
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(W)，其中 W = 365 是旅行计划中日期的最大值，我们需要计算 W 个解，而每个解最多需要查询 3 个其他的解，因此计算量为 O(3 * W)=O(W)。

  • 空间复杂度：O(W)，我们需要长度为 O(W) 的数组来存储所有的解。

方法二：记忆化搜索（窗口变量型）

思路

方法一需要遍历一年中所有的天数，无论 days 的长度是多少。

但是观察方法一的递推式，我们可以看到，如果我们查询 dp}(i)，而第 i 天我们又不需要出行的话，那么 dp 函数会一直向后计算 dp}(i + 1) = \textit{dp}(i + 2) = \textit{dp}(i + 3) 一直到一年结束或者有一天我们需要出行为止。那么我们其实可以直接跳过这些不需要出行的日期，直接找到下一个需要出行的日期。

算法

现在，我们令 dp}(i) 表示能够完成从第 days}[i] 天到最后的旅行计划的最小花费（注意，不再是第 i 天到最后的最小花费）。令 j_1 是满足 days}[j_1] >= \textit{days}[i] + 1 的最小下标，j_7 是满足 days}[j_7] >= \textit{days}[i] + 7 的最小下标， j_{30 是满足 days}[j_{30}] >= \textit{days}[i] + 30 的最小下标，那么就有：

\textit{dp}(i) = \min(\textit{dp}(j_1) + \textit{costs}[0], \textit{dp}(j_7) + \textit{costs}[1], \textit{dp}(j_{30}) + \textit{costs}[2])

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class Solution {
    int[] days, costs;
    Integer[] memo;
    int[] durations = new int[]{1, 7, 30};

    public int mincostTickets(int[] days, int[] costs) {
        this.days = days;
        this.costs = costs;
        memo = new Integer[days.length];
        return dp(0);
    }

    public int dp(int i) {
        if (i >= days.length) {
            return 0;
        }
        if (memo[i] != null) {
            return memo[i];
        }
        memo[i] = Integer.MAX_VALUE;
        int j = i;
        for (int k = 0; k < 3; ++k) {
            while (j < days.length && days[j] < days[i] + durations[k]) {
                j++;
            }
            memo[i] = Math.min(memo[i], dp(j) + costs[k]);
        }
        return memo[i];
    }
}
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class Solution:
    def mincostTickets(self, days: List[int], costs: List[int]) -> int:
        N = len(days)
        durations = [1, 7, 30]

        @lru_cache(None)
        def dp(i):
            if i >= N:
                return 0
            ans = 10**9
            j = i
            for c, d in zip(costs, durations):
                while j < N and days[j] < days[i] + d:
                    j += 1
                ans = min(ans, dp(j) + c)
            return ans

        return dp(0)
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class Solution {
private:
    vector<int> days, costs;
    vector<int> memo;
    int durations[3] = {1, 7, 30};
    
public:
    int mincostTickets(vector<int>& days, vector<int>& costs) {
        this->days = days;
        this->costs = costs;
        memo.assign(days.size(), -1);
        return dp(0);
    }

    int dp(int i) {
        if (i >= days.size()) {
            return 0;
        }
        if (memo[i] != -1) {
            return memo[i];
        }
        memo[i] = INT_MAX;
        int j = i;
        for (int k = 0; k < 3; ++k) {
            while (j < days.size() && days[j] < days[i] + durations[k]) {
                ++j;
            }
            memo[i] = min(memo[i], dp(j) + costs[k]);
        }
        return memo[i];
    }
};
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func mincostTickets(days []int, costs []int) int {
    memo := [366]int{}
    durations := []int{1, 7, 30}

    var dp func(idx int) int 
    dp = func(idx int) int {
        if idx >= len(days) {
            return 0
        }
        if memo[idx] > 0 {
            return memo[idx]
        }
        memo[idx] = math.MaxInt32
        j := idx
        for i := 0; i < 3; i++ {
            for ; j < len(days) && days[j] < days[idx] + durations[i]; j++ { }
            memo[idx] = min(memo[idx], dp(j) + costs[i])
        }
        return memo[idx]
    }
    return dp(0)
}

func min(x, y int) int {
    if x < y {
        return x
    }
    return y
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(N)，其中 N 是出行日期的数量，我们需要计算 N 个解，而计算每个解的过程中最多将指针挪动 30 步，计算量为 O(30 * N)=O(N)。

  • 空间复杂度：O(N)，我们需要长度为 O(N) 的数组来存储所有的解。

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