1131-绝对值表达式的最大值

给你两个长度相等的整数数组，返回下面表达式的最大值：

|arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j|

其中下标 i，j 满足 0 <= i, j < arr1.length。

示例 1：

**输入：** arr1 = [1,2,3,4], arr2 = [-1,4,5,6]
**输出：** 13

示例 2：

**输入：** arr1 = [1,-2,-5,0,10], arr2 = [0,-2,-1,-7,-4]
**输出：** 20

提示：

2 <= arr1.length == arr2.length <= 40000
-10^6 <= arr1[i], arr2[i] <= 10^6

第一种思路 - 暴力解

分析：

此题乍一看很简单，要求 |arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j|，直接上双重循环的暴力解即可，然而数据规模较大，结果超时。

Python代码实现：

[-Python]class Solution(object):
    def maxAbsValExpr(self, arr1, arr2):
        """
        :type arr1: List[int]
        :type arr2: List[int]
        :rtype: int
        """
        res = 0
        for i in range(len(arr1)):
            for j in range(len(arr2)):
                res = max(res, abs(arr1[i] - arr1[j]) + abs(arr2[i] - arr2[j]) + abs(i - j))
        return res

复杂度分析：

时间复杂度：O(N^2)

空间复杂度：O(1)

第二种思路 - 数学解

分析:

既然暴力解不可行，那么我们就需要思考有没有更好的办法，已知要求 |arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j| 的最大值，我们可以先考虑一下子问题的求解：

子问题 1. 求 |arr1[i] - arr1[j]| 的最大值

这就比较简单了，可以直观地看出来答案，一个数组 arr1 里两个元素差的绝对值的最大值，应该等于 max(arr1) - min(arr1)

子问题 2. 求 |arr1[i] - arr1[j]| + |i - j| 的最大值

比上一题复杂了一点，观察并不能得出答案，因此，不妨把表达式的绝对值符号去掉，看看展开后会得到怎样的结果：

abs( arr1[i] - arr1[j]) + abs(i - j) 
=  arr1[i] - arr1[j] + i - j =  (arr1[i] + i) - (arr1[j] + j) # 式1
=  arr1[i] - arr1[j] - i + j =  (arr1[i] - i) - (arr1[j] - j) # 式2
= -arr1[i] + arr1[j] + i - j = -(arr1[i] - i) + (arr1[j] - j) # 式3
= -arr1[i] + arr1[j] - i + j = -(arr1[i] + i) + (arr1[j] + j) # 式4

因为 i 和 j 是可以互换的，所以式 1 等价于式 4，式 2 等价于式 3，因此可以得到：

abs( arr1[i] - arr1[j]) + abs(i - j) 
= (arr1[i] + i) - (arr1[j] + j) ------式1
= (arr1[i] - i) - (arr1[j] - j) ------式2

现在不难发现，原始表达式的值只取决于两个中间表达式：

中间表达式 A = arr1[i] + i

中间表达式 B = arr1[i] - i

所以有：

max(abs( arr1[i] - arr1[j]) + abs(i - j) )
= max((arr1[i] + i) - (arr1[j] + j),
      (arr1[i] - i) - (arr1[j] - j))
= max( max(A) - min(A),
       max(B) - min(B))

因此，不难得到子问题的求解代码如下：

[-Python]class Solution(object):
    def maxAbsValExpr(self, arr1, arr2):
        """
        :type arr1: List[int]
        :type arr2: List[int]
        :rtype: int
        """
        A = []
        B = []
        for i, x in enumerate(arr1):
            A.append(x + i)
            B.append(x - i)
        return max(max(A) - min(A), max(B) - min(B))

现在已经知道了子问题如何求解，那么本题也可以采用相同的解法，首先把绝对值符号去掉，展开表达式：

|arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j|
 
 =  (arr1[i] + arr2[i] + i) - (arr1[j] + arr2[j] + j)
 =  (arr1[i] + arr2[i] - i) - (arr1[j] + arr2[j] - j)
 =  (arr1[i] - arr2[i] + i) - (arr1[j] - arr2[j] + j)
 =  (arr1[i] - arr2[i] - i) - (arr1[j] - arr2[j] - j)
 = -(arr1[i] + arr2[i] + i) + (arr1[j] + arr2[j] + j)
 = -(arr1[i] + arr2[i] - i) + (arr1[j] + arr2[j] - j)
 = -(arr1[i] - arr2[i] + i) + (arr1[j] - arr2[j] + j)
 = -(arr1[i] - arr2[i] - i) + (arr1[j] - arr2[j] - j)
 
因为存在四组两两等价的展开，所以可以优化为四个表达式：
A = arr1[i] + arr2[i] + i
B = arr1[i] + arr2[i] - i
C = arr1[i] - arr2[i] + i
D = arr1[i] - arr2[i] - i

max( |arr1[i] - arr1[j]| + |arr2[i] - arr2[j]| + |i - j|)
= max(max(A) - min(A),
      max(B) - min(B),
      max(C) - min(C),
      max(D) - min(D))

Python代码实现:

[-Python]class Solution(object):
    def maxAbsValExpr(self, arr1, arr2):
        """
        :type arr1: List[int]
        :type arr2: List[int]
        :rtype: int
        """
        A, B, C, D= [], [], [], []
        for i in range(len(arr1)):
            x, y = arr1[i], arr2[i]
            A.append(x + y + i)
            B.append(x + y - i)
            C.append(x - y + i)
            D.append(x - y - i)
            
        a = max(A) - min(A)
        b = max(B) - min(B)
        c = max(C) - min(C)
        d = max(D) - min(D)        
        return max(a, b, c, d)

复杂度分析:

时间复杂度：O(N)

空间复杂度：O(N)

优化分析：

其实，并没有必要储存所有的 ·A,B,C,D· 表达式的值，

因为我们需要的仅仅是 ·A,B,C,D· 表达式的最大值和最小值，

因此可以用八个变量替代四个数组，将空间优化到 O(1)。