1143-最长公共子序列

Raphael Liu Lv10

给定两个字符串 text1text2,返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ,返回 0

一个字符串的 子序列 __
是指这样一个新的字符串:它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符(也可以不删除任何字符)后组成的新字符串。

  • 例如,"ace""abcde" 的子序列,但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1:

**输入:** text1 = "abcde", text2 = "ace" 
**输出:** 3  
**解释:** 最长公共子序列是 "ace" ,它的长度为 3 。

示例 2:

**输入:** text1 = "abc", text2 = "abc"
**输出:** 3
**解释:** 最长公共子序列是 "abc" ,它的长度为 3 。

示例 3:

**输入:** text1 = "abc", text2 = "def"
**输出:** 0
**解释:** 两个字符串没有公共子序列,返回 0 。

提示:

  • 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
  • text1text2 仅由小写英文字符组成。

方法一:动态规划

最长公共子序列问题是典型的二维动态规划问题。

假设字符串 text}_1 和 text}_2 的长度分别为 m 和 n,创建 m+1 行 n+1 列的二维数组 dp,其中 dp}[i][j] 表示 text}_1[0:i] 和 text}_2[0:j] 的最长公共子序列的长度。

上述表示中,text}_1[0:i] 表示 text}_1 的长度为 i 的前缀,text}_2[0:j] 表示 text}_2 的长度为 j 的前缀。

考虑动态规划的边界情况:

  • 当 i=0 时,text}_1[0:i] 为空,空字符串和任何字符串的最长公共子序列的长度都是 0,因此对任意 0 \le j \le n,有 dp}[0][j]=0;

  • 当 j=0 时,text}_2[0:j] 为空,同理可得,对任意 0 \le i \le m,有 dp}[i][0]=0。

因此动态规划的边界情况是:当 i=0 或 j=0 时,dp}[i][j]=0。

当 i>0 且 j>0 时,考虑 dp}[i][j] 的计算:

  • 当 text}_1[i-1]=\textit{text}_2[j-1] 时,将这两个相同的字符称为公共字符,考虑 text}_1[0:i-1] 和 text}_2[0:j-1] 的最长公共子序列,再增加一个字符(即公共字符)即可得到 text}_1[0:i] 和 text}_2[0:j] 的最长公共子序列,因此 dp}[i][j]=\textit{dp}[i-1][j-1]+1。

  • 当 text}_1[i-1] \ne \textit{text}_2[j-1] 时,考虑以下两项:

    • text}_1[0:i-1] 和 text}_2[0:j] 的最长公共子序列;

    • text}_1[0:i] 和 text}_2[0:j-1] 的最长公共子序列。

    要得到 text}_1[0:i] 和 text}_2[0:j] 的最长公共子序列,应取两项中的长度较大的一项,因此 dp}[i][j]=\max(\textit{dp}[i-1][j],\textit{dp}[i][j-1])。

由此可以得到如下状态转移方程:

\textit{dp}[i][j] = \begin{cases}
\textit{dp}[i-1][j-1]+1, & \textit{text}_1[i-1]=\textit{text}_2[j-1] \
\max(\textit{dp}[i-1][j],\textit{dp}[i][j-1]), & \textit{text}_1[i-1] \ne \textit{text}_2[j-1]
\end{cases}

最终计算得到 dp}[m][n] 即为 text}_1 和 text}_2 的最长公共子序列的长度。

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[sol1-Java]
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class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
int m = text1.length(), n = text2.length();
int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 1; i <= m; i++) {
char c1 = text1.charAt(i - 1);
for (int j = 1; j <= n; j++) {
char c2 = text2.charAt(j - 1);
if (c1 == c2) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[m][n];
}
}
[sol1-JavaScript]
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var longestCommonSubsequence = function(text1, text2) {
const m = text1.length, n = text2.length;
const dp = new Array(m + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0));
for (let i = 1; i <= m; i++) {
const c1 = text1[i - 1];
for (let j = 1; j <= n; j++) {
const c2 = text2[j - 1];
if (c1 === c2) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[m][n];
};
[sol1-Golang]
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func longestCommonSubsequence(text1, text2 string) int {
m, n := len(text1), len(text2)
dp := make([][]int, m+1)
for i := range dp {
dp[i] = make([]int, n+1)
}
for i, c1 := range text1 {
for j, c2 := range text2 {
if c1 == c2 {
dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1
} else {
dp[i+1][j+1] = max(dp[i][j+1], dp[i+1][j])
}
}
}
return dp[m][n]
}

func max(a, b int) int {
if a > b {
return a
}
return b
}
[sol1-Python3]
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class Solution:
def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
m, n = len(text1), len(text2)
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])

return dp[m][n]
[sol1-C++]
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class Solution {
public:
int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
int m = text1.length(), n = text2.length();
vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
for (int i = 1; i <= m; i++) {
char c1 = text1.at(i - 1);
for (int j = 1; j <= n; j++) {
char c2 = text2.at(j - 1);
if (c1 == c2) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[m][n];
}
};
[sol1-C]
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int longestCommonSubsequence(char* text1, char* text2) {
int m = strlen(text1), n = strlen(text2);
int dp[m + 1][n + 1];
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for (int i = 1; i <= m; i++) {
char c1 = text1[i - 1];
for (int j = 1; j <= n; j++) {
char c2 = text2[j - 1];
if (c1 == c2) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} else {
dp[i][j] = fmax(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}
}
}
return dp[m][n];
}

复杂度分析

  • 时间复杂度:O(mn),其中 m 和 n 分别是字符串 text}_1 和 text}_2 的长度。二维数组 dp 有 m+1 行和 n+1 列,需要对 dp 中的每个元素进行计算。

  • 空间复杂度:O(mn),其中 m 和 n 分别是字符串 text}_1 和 text}_2 的长度。创建了 m+1 行 n+1 列的二维数组 dp。

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