1186-删除一次得到子数组最大和

给你一个整数数组，返回它的某个 非空
子数组（连续元素）在执行一次可选的删除操作后，所能得到的最大元素总和。换句话说，你可以从原数组中选出一个子数组，并可以决定要不要从中删除一个元素（只能删一次哦），（删除后）子数组中至少应当有一个元素，然后该子数组（剩下）的元素总和是所有子数组之中最大的。

注意，删除一个元素后，子数组 不能为空 。

示例 1：

**输入：** arr = [1,-2,0,3]
**输出：** 4
**解释：** 我们可以选出 [1, -2, 0, 3]，然后删掉 -2，这样得到 [1, 0, 3]，和最大。

示例 2：

**输入：** arr = [1,-2,-2,3]
**输出：** 3
**解释：** 我们直接选出 [3]，这就是最大和。

示例 3：

**输入：** arr = [-1,-1,-1,-1]
**输出：** -1
**解释：** 最后得到的子数组不能为空，所以我们不能选择 [-1] 并从中删去 -1 来得到 0。
     我们应该直接选择 [-1]，或者选择 [-1, -1] 再从中删去一个 -1。

提示：

• 1 <= arr.length <= 105
• -104 <= arr[i] <= 104

方法一：动态规划

本题是典型的动态规划应用题，我们可以将问题拆分成多个子问题，即求解以 arr}[i] 结尾的最多删除一次的非空子数组的最大和。我们以 dp}[i][k] 表示以 arr}[i] 结尾，删除 k 次的非空子数组的最大和（删除前的末尾元素为 arr}[i]，就视为以 arr}[i] 结尾）。初始时 dp}[0][0] = \textit{arr}[0]，dp}[0][1] ＝ 0（以 arr}[0] 结尾，删除一次的非空子数组不存在，因此 dp}[0][1] 不会计入结果）。当 i \gt 0 时，转移方程如下：

\begin{aligned}
\textit{dp}[i][0] &= \max(\textit{dp}[i - 1][0], 0) + \textit{arr}[i] \
\textit{dp}[i][1] &= \max(\textit{dp}[i - 1][1] + \textit{arr}[i], \textit{dp}[i - 1][0])
\end{aligned}

• 第一个转移方程表示在不删除的情况下，以 arr}[i] 为结尾的非空子数组的最大和 dp}[i][0] 与 dp}[i － 1][0] 有关，当 dp}[i - 1][0] \gt 0 时，直接将 arr}[i] 与 i - 1 时的最大非空子数组连接时，取得最大和，否则只选 arr}[i] 时，取得最大和。

• 第二个转移方程表示在删除一次的情况下，以 arr}[i] 为结尾的非空子数组有两种情况：

  1. 不删除 arr}[i]，那么选择 arr}[i] 与 dp}[i - 1][1] 对应的子数组（已执行一次删除）。

  2. 删除 arr}[i]，那么选择 dp}[i - 1][0] 对应的非空子数组（未执行一次删除，但是等同于删除了 arr}[i]）。

  dp}[i][1] 取以上两种情况的最大和的最大值。

注意到 dp}[i][] 的值只与 dp}[i - 1][] 有关，因此我们可以只使用两个整数来节省空间。

[sol1-C++]

class Solution {
public:
    int maximumSum(vector<int>& arr) {
        int dp0 = arr[0], dp1 = 0, res = arr[0];
        for (int i = 1; i < arr.size(); i++) {
            dp1 = max(dp0, dp1 + arr[i]);
            dp0 = max(dp0, 0) + arr[i];
            res = max(res, max(dp0, dp1));
        }
        return res;
    }
};

[sol1-Java]

class Solution {
    public int maximumSum(int[] arr) {
        int dp0 = arr[0], dp1 = 0, res = arr[0];
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            dp1 = Math.max(dp0, dp1 + arr[i]);
            dp0 = Math.max(dp0, 0) + arr[i];
            res = Math.max(res, Math.max(dp0, dp1));
        }
        return res;
    }
}

[sol1-C#]

public class Solution {
    public int MaximumSum(int[] arr) {
        int dp0 = arr[0], dp1 = 0, res = arr[0];
        for (int i = 1; i < arr.Length; i++) {
            dp1 = Math.Max(dp0, dp1 + arr[i]);
            dp0 = Math.Max(dp0, 0) + arr[i];
            res = Math.Max(res, Math.Max(dp0, dp1));
        }
        return res;
    }
}

[sol1-Golang]

func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}

func maximumSum(arr []int) int {
    dp0, dp1, res := arr[0], 0, arr[0]
    for i := 1; i < len(arr); i++ {
        dp0, dp1 = max(dp0, 0) + arr[i], max(dp1 + arr[i], dp0)
        res = max(res, max(dp0, dp1))
    }
    return res
}

[sol1-Python3]

class Solution:
    def maximumSum(self, arr: List[int]) -> bool:
        dp0, dp1, res = arr[0], 0, arr[0]
        for i in range(1, len(arr)):
            dp1 = max(dp0, dp1 + arr[i])
            dp0 = max(dp0, 0) + arr[i]
            res = max(res, max(dp0, dp1))
        return res

[sol1-JavaScript]

var maximumSum = function(arr) {
    let dp0 = arr[0], dp1 = 0, res = arr[0];
    for (let i = 1; i < arr.length; i++) {
        dp1 = Math.max(dp0, dp1 + arr[i]);
        dp0 = Math.max(dp0, 0) + arr[i];
        res = Math.max(res, Math.max(dp0, dp1));
    }
    return res;
};

[sol1-C]

int maximumSum(int* arr, int arrSize) {
    int dp0 = arr[0], dp1 = 0, res = arr[0];
    for (int i = 1; i < arrSize; i++) {
        dp1 = fmax(dp0, dp1 + arr[i]);
        dp0 = fmax(dp0, 0) + arr[i];
        res = fmax(res, fmax(dp0, dp1));
    }
    return res;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是数组 arr 的长度。

• 空间复杂度：O(1)。