1202-交换字符串中的元素

给你一个字符串 s，以及该字符串中的一些「索引对」数组 pairs，其中 pairs[i] = [a, b] 表示字符串中的两个索引（编号从 0
开始）。

你可以 任意多次交换 在 pairs 中任意一对索引处的字符。

返回在经过若干次交换后，s 可以变成的按字典序最小的字符串。

示例 1:

**输入：** s = "dcab", pairs = [[0,3],[1,2]]
**输出：** "bacd"
**解释：** 
交换 s[0] 和 s[3], s = "bcad"
交换 s[1] 和 s[2], s = "bacd"

示例 2：

**输入：** s = "dcab", pairs = [[0,3],[1,2],[0,2]]
**输出：** "abcd"
**解释：**
交换 s[0] 和 s[3], s = "bcad"
交换 s[0] 和 s[2], s = "acbd"
交换 s[1] 和 s[2], s = "abcd"

示例 3：

**输入：** s = "cba", pairs = [[0,1],[1,2]]
**输出：** "abc"
**解释：**
交换 s[0] 和 s[1], s = "bca"
交换 s[1] 和 s[2], s = "bac"
交换 s[0] 和 s[1], s = "abc"

提示：

• 1 <= s.length <= 10^5
• 0 <= pairs.length <= 10^5
• 0 <= pairs[i][0], pairs[i][1] < s.length
• s 中只含有小写英文字母

📺 视频讲解

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📖 文字解析

关于字典序的定义，大家可以查阅 字典序 - 百度百科 。根据定义，ASCII 值越小的字符位于字符串中的位置越靠前，整个字符串的字典序就越靠前。

改变字符串中字符位置的操作是输入数组 pairs 中的「索引对」，每一个「索引对」表示一次「交换索引对应的字符」操作。我们需要想办法让 ASCII 值小的字符交换到字符串中靠前的位置。

分析示例

示例 1：输入：s = "dcab", pairs = [[0, 3], [1, 2]]：

• 交换 s[0] 和 s[3]，让 ASCII 值小的字符 b 靠前；
• 交换 s[1] 和 s[2]，让 ASCII 值小的字符 a 靠前；

这样得到的字符串 "bacd" 字典序最小。

示例 2：输入 s = "dcab", pairs = [[0, 3], [1, 2], [0, 2]]

示例 2 与示例 1 的输入是一样的，pairs 多了一对索引对 [0, 2]，由于多了这个索引对，s 的 4 个索引可以任意交换，这是因为 交换关系具有传递性。

理解「交换关系具有传递性」：

• [0, 3] 和 [0, 2] 有共同索引 0 ，说明索引 0、2、3 可以任意交换；
• [1, 2] 和 [0, 2] 有共同索引 2 ，说明索引 0、1、2 可以任意交换； 因此 [0, 2] 把 [0, 3] 和 [1, 2] 中出现的索引 0、1、2、3 连在了一起。

题目中说「可以 任意多次交换 在 pairs 中任意一对索引处的字符」。于是我们可以将 0、1、2、3 这 4 个索引位置上的字符按照 ASCII 值升序排序。采用基于比较的原地排序算法（选择排序、插入排序、冒泡排序、快速排序）均可。

（示例 3 与示例 2 的分析一样，这里省略。）

通过对示例的分析，我们知道，当前问题是一个图论的问题，我们需要找出同属于一个连通分量的所有字符。把「连在一起」的索引按照字符的 ASCII 值升序排序。交换关系具有传递性、找哪些索引连在一起、数组 pairs 给出的是数对的形式，这三点提示我们可以使用并查集。

方法：并查集

根据上面的分析，我们设计算法步骤如下：

第 1 步：先遍历 pairs 中的索引对，将索引对中成对的索引输入并查集，并查集会帮助我们实现同属于一个连通分量中的元素的合并工作。注意：并查集管理的是「索引」不是「字符」。

{:width=500}

第 2 步：遍历输入字符串 s，对于每一个索引，找到这个索引在并查集中的代表元，把同属于一个代表元的字符放在一起。这一步需要建立一个映射关系。键：并查集中的代表元，值：同属于一个代表元的 s 中的字符。可以使用哈希表建立映射关系。

{:width=500}

第 3 步：分组排序。即对同属于一个连通分量中的字符进行排序。

{:width=500}

这一步实现可以这样做：重新生成一个长度和 s 相同的字符串，对于每一个索引，查询索引在并查集中的代表元，再从哈希表中获得这个代表元对应的字符集列表，从中移除 ASCII 值最小的字符依次拼接起来。
这一步我们每一次需要从一个集合中选出 ASCII 值最小的字符，选出以后不再用它，带排序功能的集合有「平衡树（二叉搜索树）」和「优先队列（堆）」等，可以使用「优先队列」。

参考代码：

[]

import java.util.HashMap;
import java.util.List;
import java.util.Map;
import java.util.PriorityQueue;

public class Solution {

    public String smallestStringWithSwaps(String s, List<List<Integer>> pairs) {
        if (pairs.size() == 0) {
            return s;
        }

        // 第 1 步：将任意交换的结点对输入并查集
        int len = s.length();
        UnionFind unionFind = new UnionFind(len);
        for (List<Integer> pair : pairs) {
            int index1 = pair.get(0);
            int index2 = pair.get(1);
            unionFind.union(index1, index2);
        }

        // 第 2 步：构建映射关系
        char[] charArray = s.toCharArray();
        // key：连通分量的代表元，value：同一个连通分量的字符集合（保存在一个优先队列中）
        Map<Integer, PriorityQueue<Character>> hashMap = new HashMap<>(len);
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            int root = unionFind.find(i);
//            if (hashMap.containsKey(root)) {
//                hashMap.get(root).offer(charArray[i]);
//            } else {
//                PriorityQueue<Character> minHeap = new PriorityQueue<>();
//                minHeap.offer(charArray[i]);
//                hashMap.put(root, minHeap);
//            }
            // 上面六行代码等价于下面一行代码，JDK 1.8 以及以后支持下面的写法
            hashMap.computeIfAbsent(root, key -> new PriorityQueue<>()).offer(charArray[i]);
        }

        // 第 3 步：重组字符串
        StringBuilder stringBuilder = new StringBuilder();
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            int root = unionFind.find(i);
            stringBuilder.append(hashMap.get(root).poll());
        }
        return stringBuilder.toString();
    }

    private class UnionFind {

        private int[] parent;
        /**
         * 以 i 为根结点的子树的高度（引入了路径压缩以后该定义并不准确）
         */
        private int[] rank;

        public UnionFind(int n) {
            this.parent = new int[n];
            this.rank = new int[n];
            for (int i = 0; i < n; i++) {
                this.parent[i] = i;
                this.rank[i] = 1;
            }
        }

        public void union(int x, int y) {
            int rootX = find(x);
            int rootY = find(y);
            if (rootX == rootY) {
                return;
            }

            if (rank[rootX] == rank[rootY]) {
                parent[rootX] = rootY;
                // 此时以 rootY 为根结点的树的高度仅加了 1
                rank[rootY]++;
            } else if (rank[rootX] < rank[rootY]) {
                parent[rootX] = rootY;
                // 此时以 rootY 为根结点的树的高度不变
            } else {
                // 同理，此时以 rootX 为根结点的树的高度不变
                parent[rootY] = rootX;
            }
        }

        public int find(int x) {
            if (x != parent[x]) {
                parent[x] = find(parent[x]);
            }
            return parent[x];
        }
    }
}

说明：

• 这一版并查集引入了「按秩合并」，「按秩合并」在这个问题里不是必需的。「按秩合并」又叫「启发式合并」，「启发」的意思是：「依据经验」、「尝试」、「探测」，在可接受误差的情况下行之有效的算法策略。简而言之：虽然不精确、达不到最优，但好过没有；
• 「路径压缩」和「按秩合并」一起使用的时候，难以维护「秩」准确的定义，但依然具有参考价值。这是因为：虽然 rank 不是此时树的精确高度，但是不会出现树 a 的高度比树 b 结点高，但是树 a 的 rank 却比树 b 的 rank 低的情况。

复杂度分析：

• 时间复杂度：O((M + N) \alpha (N) + N \log N)，这里 M是数组 pairs 的长度，N 是输入字符串 s 的长度，这里 \alpha 是 Ackermann 函数的反函数（请见参考资料）；

  • 第 1 步：遍历数组 pairs 需要 O(M)，，并查集每一次合并（按秩合并）的同时还有路径压缩，时间复杂度为 O(\alpha(N))，这一部分总的时间复杂度为 O(M \alpha(N))；
  • 第 2 步：并查集每一次查询的时间复杂度为 O(\alpha(N))，一共 N 次查询，时间复杂度为 O(N \alpha(N))，每一个字符加入优先队列。极端情况下，所有字符都在一个优先队列里，每一次调整堆的时间复杂度为 O(\log N)，这一部分总的时间复杂度为 O\left(N (\alpha(N) + \log N)\right)；
  • 第 3 步：极端情况下，所有的字符都在一个连通分量里（所有字符都在一个优先队列里），并查集每一次查询的时间复杂度为 O(\alpha(N))，在优先队列里选出字典序最小的字符时间复杂度为 O(\log N)，一共 N 次调整堆，这一部分总的时间复杂度也为 O\left(N (\alpha(N) + \log N)\right)。

• 空间复杂度：O(N)：并查集的长度为 N ，哈希表的长度为 N，所有的优先队列中加起来一共有 N 个字符，保存结果需要 N 个字符。

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同时使用「路径压缩」和「按秩合并」的时间复杂度

同时使用了「按秩合并」和「路径压缩」的「并查集」，单次「合并」与「查询」操作的时间复杂度为 Ackermann 函数 的反函数，记为 \alpha。此时并查集的时间复杂度使用 \alpha 表示。大家可以在「参考资料」里阅读关于该函数的介绍。需要知道的结论如下：

\alpha(N) 的增长极其缓慢，对于实际应用中可能出现的所有 N 值均小于 5 （来自《算法（第 4 版）》提高题 1.5.13）。

下面是一个经验，并不绝对，仅供大家参考：在实际解决问题的时候，一般只用「路径压缩」。如果「路径压缩」的结果不太理想，再考虑使用「按秩合并」。虽然「路径压缩」和「按秩合并」同时使用在理论上会使得时间复杂度降低，但在数据规模有限的情况下，这种优化可能不能加快程序的执行时间。具体情况需要具体分析。

参考资料

• 《算法导论（第 3 版）》第 21 章：用于不相交集合的数据结构；
• 《算法》（第 4 版）第 1 章第 5 节：案例研究：union-find 算法；
• OI Wiki - 数据结构 - 并查集 。