1387-将整数按权重排序

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 16:45:43 2023-09-13 16:45:43 Updated    

我们将整数 x 的 权重 定义为按照下述规则将 x 变成 1 所需要的步数：

  • 如果 x 是偶数，那么 x = x / 2
  • 如果 x 是奇数，那么 x = 3 * x + 1

比方说，x=3 的权重为 7 。因为 3 需要 7 步变成 1 （3 –> 10 –> 5 –> 16 –> 8 –> 4 –> 2 –>
1）。

给你三个整数 lo， hi 和 k 。你的任务是将区间 [lo, hi] 之间的整数按照它们的权重 **升序排序 **，如果大于等于 2
个整数有 相同 的权重，那么按照数字自身的数值 升序排序 。

请你返回区间 [lo, hi] 之间的整数按权重排序后的第 k 个数。

注意，题目保证对于任意整数 x （lo <= x <= hi） ，它变成 1 所需要的步数是一个 32 位有符号整数。

示例 1：

**输入：** lo = 12, hi = 15, k = 2
**输出：** 13
**解释：** 12 的权重为 9（12 --> 6 --> 3 --> 10 --> 5 --> 16 --> 8 --> 4 --> 2 --> 1）
13 的权重为 9
14 的权重为 17
15 的权重为 17
区间内的数按权重排序以后的结果为 [12,13,14,15] 。对于 k = 2 ，答案是第二个整数也就是 13 。
注意，12 和 13 有相同的权重，所以我们按照它们本身升序排序。14 和 15 同理。

示例 2：

**输入：** lo = 7, hi = 11, k = 4
**输出：** 7
**解释：** 区间内整数 [7, 8, 9, 10, 11] 对应的权重为 [16, 3, 19, 6, 14] 。
按权重排序后得到的结果为 [8, 10, 11, 7, 9] 。
排序后数组中第 4 个数字为 7 。

提示：

  • 1 <= lo <= hi <= 1000
  • 1 <= k <= hi - lo + 1

题目分析

我们要按照权重为第一关键字，原值为第二关键字对区间 [lo, hi] 进行排序，关键在于我们怎么求权重。

方法一：递归

思路

记 x 的权重为 f(x)，按照题意很明显我们可以构造这样的递归式：

f(x) =
\left { \begin{aligned}
0 &, & x = 1 \
f(3x + 1) + 1 &, & x \bmod{2} = 1 \
f(x}{2}) + 1 &, & x \bmod{2} = 0
\end{aligned} \right .

于是我们就可以递归求解每个数字的权重了。

代码

[sol1-C++]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
class Solution {
public:
    int getF(int x) {
        if (x == 1) return 0;
        if (x & 1) return getF(x * 3 + 1) + 1;
        else return getF(x / 2) + 1;
    }

    int getKth(int lo, int hi, int k) {
        vector <int> v;
        for (int i = lo; i <= hi; ++i) v.push_back(i);
        sort(v.begin(), v.end(), [&] (int u, int v) {
            if (getF(u) != getF(v)) return getF(u) < getF(v);
            else return u < v;
        });
        return v[k - 1];
    }
};
[sol1-Java]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
class Solution {
    public int getKth(int lo, int hi, int k) {
        List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
        for (int i = lo; i <= hi; ++i) {
            list.add(i);
        }
        Collections.sort(list, new Comparator<Integer>() {
            public int compare(Integer u, Integer v) {
                if (getF(u) != getF(v)) {
                    return getF(u) - getF(v);
                } else {
                    return u - v;
                }
            }
        });
        return list.get(k - 1);
    }

    public int getF(int x) {
        if (x == 1) {
            return 0;
        } else if ((x & 1) != 0) {
            return getF(x * 3 + 1) + 1;
        } else {
            return getF(x / 2) + 1;
        }
    }
}
[sol1-Python3]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
class Solution:
    def getKth(self, lo: int, hi: int, k: int) -> int:
        def getF(x):
            if x == 1:
                return 0
            return (getF(x * 3 + 1) if x % 2 == 1 else getF(x // 2)) + 1
        
        v = list(range(lo, hi + 1))
        v.sort(key=lambda x: (getF(x), x))
        return v[k - 1]

复杂度分析

记区间长度为 n，等于 hi - lo + 1。

  • 时间复杂度：这里的区间一定是 [1, 1000] 的子集，在 [1, 1000] 中权重最大数的权重为 178，即这个递归函数要执行 178 次，所以排序的每次比较的时间代价为 O(178)，故渐进时间复杂度为 O(178 \times n \log n)。

  • 空间复杂度：我们使用了长度为 n 的数组辅助进行排序，同时再使用递归计算权重时最多会使用 178 层的栈空间，故渐进空间复杂度为 O(n + 178)。

方法二：记忆化

思路

我们知道在求 f(3) 的时候会调用到 f(10)，在求 f(20) 的时候也会调用到 f(10)。同样的，如果单纯递归计算权重的话，会存在很多重复计算，我们可以用记忆化的方式来加速这个过程，即「先查表，再计算」和「先记忆，再返回」。我们可以用一个哈希映射作为这里的记忆化的「表」，这样保证每个元素的权值只被计算 1 次。在 [1, 1000] 中所有 x 求 f(x) 的值的过程中，只可能出现 2228 种 x，于是效率就会大大提高。

代码如下。

代码

[sol2-C++]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
class Solution {
public:
    unordered_map <int, int> f;

    int getF(int x) {
        if (f.find(x) != f.end()) return f[x];
        if (x == 1) return f[x] = 0;
        if (x & 1) return f[x] = getF(x * 3 + 1) + 1;
        else return f[x] = getF(x / 2) + 1;
    }

    int getKth(int lo, int hi, int k) {
        vector <int> v;
        for (int i = lo; i <= hi; ++i) v.push_back(i);
        sort(v.begin(), v.end(), [&] (int u, int v) {
            if (getF(u) != getF(v)) return getF(u) < getF(v);
            else return u < v;
        });
        return v[k - 1];
    }
};
[sol2-Java]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
class Solution {
    Map<Integer, Integer> f = new HashMap<Integer, Integer>();

    public int getKth(int lo, int hi, int k) {
        List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
        for (int i = lo; i <= hi; ++i) {
            list.add(i);
        }
        Collections.sort(list, new Comparator<Integer>() {
            public int compare(Integer u, Integer v) {
                if (getF(u) != getF(v)) {
                    return getF(u) - getF(v);
                } else {
                    return u - v;
                }
            }
        });
        return list.get(k - 1);
    }

    public int getF(int x) {
        if (!f.containsKey(x)) {
            if (x == 1) {
                f.put(x, 0);
            } else if ((x & 1) != 0) {
                f.put(x, getF(x * 3 + 1) + 1);
            } else {
                f.put(x, getF(x / 2) + 1);
            }
        }
        return f.get(x);
    }
}
[sol2-Python3]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
class Solution:
    def getKth(self, lo: int, hi: int, k: int) -> int:
        f = {1: 0}

        def getF(x):
            if x in f:
                return f[x]
            f[x] = (getF(x * 3 + 1) if x % 2 == 1 else getF(x // 2)) + 1
            return f[x]
        
        v = list(range(lo, hi + 1))
        v.sort(key=lambda x: (getF(x), x))
        return v[k - 1]

复杂度分析

  • 时间复杂度：平均情况下比较的次数为 n \log n，把 2228 次平摊到每一次的时间代价为 O(2228}{n \log n})，故总时间代价为 O(2228}{n \log n} \times n \log n) = O(2228)。

  • 空间复杂度：我们使用了长度为 n 的数组辅助进行排序，哈希映射只可能存在 2228 种键，故渐进空间复杂度为 O(n + 2228)。由于这里我们使用了记忆化，因此递归使用的栈空间层数会均摊到所有的 n 中，由于 n 的最大值为 1000，因此每一个 n 使用的栈空间为 O(2228/1000}) \approx O(2)，相较于排序的哈希映射需要的空间可以忽略不计。

 Comments
On this page
1387-将整数按权重排序