1600-王位继承顺序

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 17:01:07 2023-09-13 17:01:07 Updated    

一个王国里住着国王、他的孩子们、他的孙子们等等。每一个时间点，这个家庭里有人出生也有人死亡。

这个王国有一个明确规定的王位继承顺序，第一继承人总是国王自己。我们定义递归函数 Successor(x, curOrder) ，给定一个人 x
和当前的继承顺序，该函数返回 x 的下一继承人。

Successor(x, curOrder):
    如果 x 没有孩子或者所有 x 的孩子都在 curOrder 中：
        如果 x 是国王，那么返回 null
        否则，返回 Successor(x 的父亲, curOrder)
    否则，返回 x 不在 curOrder 中最年长的孩子

比方说，假设王国由国王，他的孩子 Alice 和 Bob （Alice 比 Bob 年长）和 Alice 的孩子 Jack 组成。

  1. 一开始， curOrder 为 ["king"].
  2. 调用 Successor(king, curOrder) ，返回 Alice ，所以我们将 Alice 放入 curOrder 中，得到 ["king", "Alice"] 。
  3. 调用 Successor(Alice, curOrder) ，返回 Jack ，所以我们将 Jack 放入 curOrder 中，得到 ["king", "Alice", "Jack"] 。
  4. 调用 Successor(Jack, curOrder) ，返回 Bob ，所以我们将 Bob 放入 curOrder 中，得到 ["king", "Alice", "Jack", "Bob"] 。
  5. 调用 Successor(Bob, curOrder) ，返回 null 。最终得到继承顺序为 ["king", "Alice", "Jack", "Bob"] 。

通过以上的函数，我们总是能得到一个唯一的继承顺序。

请你实现 ThroneInheritance 类：

  • ThroneInheritance(string kingName) 初始化一个 ThroneInheritance 类的对象。国王的名字作为构造函数的参数传入。
  • void birth(string parentName, string childName) 表示 parentName 新拥有了一个名为 childName 的孩子。
  • void death(string name) 表示名为 name 的人死亡。一个人的死亡不会影响 Successor 函数，也不会影响当前的继承顺序。你可以只将这个人标记为死亡状态。
  • string[] getInheritanceOrder() 返回 除去 死亡人员的当前继承顺序列表。

示例：

**输入：**
["ThroneInheritance", "birth", "birth", "birth", "birth", "birth", "birth", "getInheritanceOrder", "death", "getInheritanceOrder"]
[["king"], ["king", "andy"], ["king", "bob"], ["king", "catherine"], ["andy", "matthew"], ["bob", "alex"], ["bob", "asha"], [null], ["bob"], [null]]
**输出：**
[null, null, null, null, null, null, null, ["king", "andy", "matthew", "bob", "alex", "asha", "catherine"], null, ["king", "andy", "matthew", "alex", "asha", "catherine"]]

**解释：**
ThroneInheritance t= new ThroneInheritance("king"); // 继承顺序： **king**
t.birth("king", "andy"); // 继承顺序：king > **andy**
t.birth("king", "bob"); // 继承顺序：king > andy > **bob**
t.birth("king", "catherine"); // 继承顺序：king > andy > bob > **catherine**
t.birth("andy", "matthew"); // 继承顺序：king > andy > **matthew** > bob > catherine
t.birth("bob", "alex"); // 继承顺序：king > andy > matthew > bob > **alex** > catherine
t.birth("bob", "asha"); // 继承顺序：king > andy > matthew > bob > alex > **asha** > catherine
t.getInheritanceOrder(); // 返回 ["king", "andy", "matthew", "bob", "alex", "asha", "catherine"]
t.death("bob"); // 继承顺序：king > andy > matthew > **bob（已经去世）** > alex > asha > catherine
t.getInheritanceOrder(); // 返回 ["king", "andy", "matthew", "alex", "asha", "catherine"]

提示：

  • 1 <= kingName.length, parentName.length, childName.length, name.length <= 15
  • kingName，parentName， childName 和 name 仅包含小写英文字母。
  • 所有的参数 childName 和 kingName 互不相同 。
  • 所有 death 函数中的死亡名字 name 要么是国王，要么是已经出生了的人员名字。
  • 每次调用 birth(parentName, childName) 时，测试用例都保证 parentName 对应的人员是活着的。
  • 最多调用 105 次birth 和 death 。
  • 最多调用 10 次 getInheritanceOrder 。

方法一：多叉树的前序遍历

思路与算法

我们可以发现，题目中定义的 Successor(x, curOrder) 函数，与多叉树的前序遍历过程是一致的：

  • 「返回 x 不在 curOrder 中最年长的孩子」对应着选择 x 在树中的一个子节点，递归地进行遍历操作；

  • 「返回 Successor(x} ~的父亲\texttt{, curOrder)」对应着当我们将以 x 为根的子树遍历完成后，回溯到 x 的父节点继续进行遍历；

  • 「返回 null」对应着我们将整棵树遍历完成。

因此，对于题目中需要实现的每一个函数，我们可以分别设计出如下的算法：

  • ThroneInheritance(kingName)：我们将 kingName 作为树的根节点；

  • birth(parentName, childName)：我们在树中添加一条从 parentName 到 childName 的边，将 childName 作为 parentName 的子节点；

  • death(name)：我们使用一个哈希集合记录所有的死亡人员，将 name 加入该哈希集合中；

  • getInheritanceOrder()：我们从根节点开始对整棵树进行前序遍历。需要注意的是，如果遍历到死亡人员，那么不能将其加入继承顺序列表中。

细节

那么我们如何存储这棵树呢？

一种可行的方法是使用哈希映射。记哈希映射为 edges，那么对于 edges 中的每一个键值对 (k, v)，键 k 表示一个人，值 v 以列表的形式存放了这个人所有的孩子，列表可以为空。

这样一来，对于 birth(parentName, childName) 操作，我们只需要将 childName 加入 parentName 在哈希映射中的列表末尾即可。

代码

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class ThroneInheritance {
private:
    unordered_map<string, vector<string>> edges;
    unordered_set<string> dead;
    string king;

public:
    ThroneInheritance(string kingName): king{move(kingName)} {}
    
    void birth(string parentName, string childName) {
        edges[move(parentName)].push_back(move(childName));
    }
    
    void death(string name) {
        dead.insert(move(name));
    }
    
    vector<string> getInheritanceOrder() {
        vector<string> ans;

        function<void(const string&)> preorder = [&](const string& name) {
            if (!dead.count(name)) {
                ans.push_back(name);
            }
            if (edges.count(name)) {
                for (const string& childName: edges[name]) {
                    preorder(childName);
                }
            }
        };

        preorder(king);
        return ans;
    }
};
[sol1-Java]
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class ThroneInheritance {
    Map<String, List<String>> edges;
    Set<String> dead;
    String king;

    public ThroneInheritance(String kingName) {
        edges = new HashMap<String, List<String>>();
        dead = new HashSet<String>();
        king = kingName;
    }
    
    public void birth(String parentName, String childName) {
        List<String> children = edges.getOrDefault(parentName, new ArrayList<String>());
        children.add(childName);
        edges.put(parentName, children);
    }
    
    public void death(String name) {
        dead.add(name);
    }
    
    public List<String> getInheritanceOrder() {
        List<String> ans = new ArrayList<String>();
        preorder(ans, king);
        return ans;
    }

    private void preorder(List<String> ans, String name) {
        if (!dead.contains(name)) {
            ans.add(name);
        }
        List<String> children = edges.getOrDefault(name, new ArrayList<String>());
        for (String childName : children) {
            preorder(ans, childName);
        }
    }
}
[sol1-C#]
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public class ThroneInheritance {
    Dictionary<string, IList<string>> edges;
    ISet<string> dead;
    string king;

    public ThroneInheritance(string kingName) {
        edges = new Dictionary<string, IList<string>>();
        dead = new HashSet<string>();
        king = kingName;
    }
    
    public void Birth(string parentName, string childName) {
        IList<string> children;
        if (edges.TryGetValue(parentName, out children)) {
            children.Add(childName);
            edges[parentName] = children;
        } else {
            children = new List<string>();
            children.Add(childName);
            edges.Add(parentName, children);
        }
    }
    
    public void Death(string name) {
        dead.Add(name);
    }
    
    public IList<string> GetInheritanceOrder() {
        IList<string> ans = new List<string>();
        Preorder(ans, king);
        return ans;
    }

    private void Preorder(IList<string> ans, string name) {
        if (!dead.Contains(name)) {
            ans.Add(name);
        }
        IList<string> children = edges.TryGetValue(name, out children) ? children : new List<string>();
        foreach (string childName in children) {
            Preorder(ans, childName);
        }
    }
}
[sol1-Python3]
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class ThroneInheritance:

    def __init__(self, kingName: str):
        self.edges = defaultdict(list)
        self.dead = set()
        self.king = kingName

    def birth(self, parentName: str, childName: str) -> None:
        self.edges[parentName].append(childName)

    def death(self, name: str) -> None:
        self.dead.add(name)

    def getInheritanceOrder(self) -> List[str]:
        ans = list()

        def preorder(name: str) -> None:
            if name not in self.dead:
                ans.append(name)
            if name in self.edges:
                for childName in self.edges[name]:
                    preorder(childName)

        preorder(self.king)
        return ans
[sol1-JavaScript]
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var ThroneInheritance = function(kingName) {
    this.edges = new Map();
    this.dead = new Set();
    this.king = kingName;
};

ThroneInheritance.prototype.birth = function(parentName, childName) {
    if (!this.edges.has(parentName)) {
        this.edges.set(parentName, []);
    }
    this.edges.get(parentName).push(childName);
};

ThroneInheritance.prototype.death = function(name) {
    this.dead.add(name);
};

ThroneInheritance.prototype.getInheritanceOrder = function() {
    const ans = [];

    const preorder = (name) => {
        if (!this.dead.has(name)) {
            ans.push(name);
        }
        if (this.edges.has(name)) {
            for (const childName of this.edges.get(name)) {
                preorder(childName);
            }
        }
    }

    preorder(this.king);
    return ans;
};
[sol1-Golang]
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type ThroneInheritance struct {
    king  string
    edges map[string][]string
    dead  map[string]bool
}

func Constructor(kingName string) (t ThroneInheritance) {
    return ThroneInheritance{kingName, map[string][]string{}, map[string]bool{} }
}

func (t *ThroneInheritance) Birth(parentName, childName string) {
    t.edges[parentName] = append(t.edges[parentName], childName)
}

func (t *ThroneInheritance) Death(name string) {
    t.dead[name] = true
}

func (t *ThroneInheritance) GetInheritanceOrder() (ans []string) {
    var preorder func(string)
    preorder = func(name string) {
        if !t.dead[name] {
            ans = append(ans, name)
        }
        for _, childName := range t.edges[name] {
            preorder(childName)
        }
    }
    preorder(t.king)
    return
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：

    • ThroneInheritance(kingName)：O(1)；

    • birth(parentName, childName)：O(1)；

    • death(name)：O(1)；

    • getInheritanceOrder()：O(n)，其中 n 是当前树中的总人数。我们需要对整棵树进行一次前序遍历，时间复杂度为 O(n)。

  • 空间复杂度：

    • n 个节点的树包含 n-1 条边，因此我们需要 O(n) 的空间（即哈希映射 edges）存储整棵树；

    • 我们需要 O(n) 的空间（即哈希集合）存储所有的死亡人员；

    • 在 getInheritanceOrder() 中前序遍历的过程中，我们使用的是递归，需要一定的栈空间，栈空间的大小与树的高度成正比。由于树的高度不会超过树中的节点个数，因此栈空间最多为 O(n)。

在上述的时空复杂度分析中，我们默认了所有字符串（即人名）的操作时间以及存储空间都是 O(1) 的。如果读者希望将字符串的长度也看作变量，那么只需要将除了栈空间以外的所有项由 O(1)/O(n) 变为 O(l)/O(nl) 即可，其中 l 是字符串的最大长度。

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