1630-等差子数组

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 16:15:46 2023-09-13 16:15:46 Updated    

如果一个数列由至少两个元素组成，且每两个连续元素之间的差值都相同，那么这个序列就是 等差数列 。更正式地，数列 s
是等差数列，只需要满足：对于每个有效的 i ， s[i+1] - s[i] == s[1] - s[0] 都成立。

例如，下面这些都是 等差数列 ：

1, 3, 5, 7, 9
7, 7, 7, 7
3, -1, -5, -9

下面的数列 不是等差数列 ：

1, 1, 2, 5, 7

给你一个由 n 个整数组成的数组 nums，和两个由 m 个整数组成的数组 l 和 r，后两个数组表示 m 组范围查询，其中第
i 个查询对应范围 [l[i], r[i]] 。所有数组的下标都是 从 0 开始 的。

返回 __boolean 元素构成的答案列表 answer 。如果子数组 nums[l[i]], nums[l[i]+1], ... , nums[r[i]] 可以 重新排列 形成 等差数列 ，answer[i] 的值就是 true；否则answer[i]
的值就是 false 。

示例 1：

**输入：** nums = [4,6,5,9,3,7], l = [0,0,2], r = [2,3,5]
**输出：**[true,false,true]
**解释：**
第 0 个查询，对应子数组 [4,6,5] 。可以重新排列为等差数列 [6,5,4] 。
第 1 个查询，对应子数组 [4,6,5,9] 。无法重新排列形成等差数列。
第 2 个查询，对应子数组 [5,9,3,7] 。可以重新排列为等差数列 [3,5,7,9] 。

示例 2：

**输入：** nums = [-12,-9,-3,-12,-6,15,20,-25,-20,-15,-10], l = [0,1,6,4,8,7], r = [4,4,9,7,9,10]
**输出：** [false,true,false,false,true,true]

提示：

  • n == nums.length
  • m == l.length
  • m == r.length
  • 2 <= n <= 500
  • 1 <= m <= 500
  • 0 <= l[i] < r[i] < n
  • -105 <= nums[i] <= 105

方法一：多次遍历 + 枚举

思路与算法

要想判断某个子数组是否可以重新排列成等差数列，最简单的方法是建立一个等长度的临时数组，将子数组进行拷贝并排序。对于排完序后的子数组，我们只需要进行一次遍历，判断相邻两个元素的差值是否保持不变，就能判断出它是否为等差数列。

然而这样做的单次时间复杂度是 O(l \log l)，其中 l 是子数组的长度。我们可以给出时间复杂度更低的 O(l) 算法。

我们首先进行一次遍历，找到子数组中的最小值 a 和最大值 b。显然，a 和 b 就是等差数列的首项和末项，并且 d = \dfrac{b-a}{l-1 就是等差数列的公差。如果 b-a 不能被 l-1 整除，那么我们直接知道子数组不可能重新排列成等差数列。

如果 a = b（即 d=0），那么子数组中的每个元素都应该相同，说明它是一个等差数列。

否则，我们已经知道了等差数列的首项、公差和长度，这个等差数列唯一确定。我们再进行一次遍历，对于遍历到的元素 x，我们可以通过：

t = x-a}{d}

获取它是等差数列中的第 t~(0 \leq t < l) 项。如果 x-a 不能被 d 整除，那么我们同样知道子数组不可能重新排列成等差数列，可以退出遍历。否则，当我们遍历完整个子数组后，第 0, 1, 2, \cdots, l-1 项应该均出现了一次，这里我们可以使用哈希表或者一个长度为 l 的数组进行判断。

这样一来，我们使用两次遍历以及一个长度为 l 的辅助数组，就可以判断子数组是否可以重新排列成等差数列，时间复杂度为 O(l)。

代码

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class Solution {
public:
    vector<bool> checkArithmeticSubarrays(vector<int>& nums, vector<int>& l, vector<int>& r) {
        int n = l.size();
        vector<bool> ans;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int left = l[i], right = r[i];
            int minv = *min_element(nums.begin() + left, nums.begin() + right + 1);
            int maxv = *max_element(nums.begin() + left, nums.begin() + right + 1);

            if (minv == maxv) {
                ans.push_back(true);
                continue;
            }
            if ((maxv - minv) % (right - left) != 0) {
                ans.push_back(false);
                continue;
            }

            int d = (maxv - minv) / (right - left);
            bool flag = true;
            vector<int> seen(right - left + 1);
            for (int j = left; j <= right; ++j) {
                if ((nums[j] - minv) % d != 0) {
                    flag = false;
                    break;
                }
                int t = (nums[j] - minv) / d;
                if (seen[t]) {
                    flag = false;
                    break;
                }
                seen[t] = true;
            }
            ans.push_back(flag);
        }
        return ans;
    }
};
[sol1-Java]
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class Solution {
    public List<Boolean> checkArithmeticSubarrays(int[] nums, int[] l, int[] r) {
        int n = l.length;
        List<Boolean> ans = new ArrayList<Boolean>();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int left = l[i], right = r[i];
            int minv = nums[left], maxv = nums[left];
            for (int j = left + 1; j <= right; ++j) {
                minv = Math.min(minv, nums[j]);
                maxv = Math.max(maxv, nums[j]);
            }

            if (minv == maxv) {
                ans.add(true);
                continue;
            }
            if ((maxv - minv) % (right - left) != 0) {
                ans.add(false);
                continue;
            }

            int d = (maxv - minv) / (right - left);
            boolean flag = true;
            boolean[] seen = new boolean[right - left + 1];
            for (int j = left; j <= right; ++j) {
                if ((nums[j] - minv) % d != 0) {
                    flag = false;
                    break;
                }
                int t = (nums[j] - minv) / d;
                if (seen[t]) {
                    flag = false;
                    break;
                }
                seen[t] = true;
            }
            ans.add(flag);
        }
        return ans;
    }
}
[sol1-C#]
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public class Solution {
    public IList<bool> CheckArithmeticSubarrays(int[] nums, int[] l, int[] r) {
        int n = l.Length;
        IList<bool> ans = new List<bool>();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            int left = l[i], right = r[i];
            int minv = nums[left], maxv = nums[left];
            for (int j = left + 1; j <= right; ++j) {
                minv = Math.Min(minv, nums[j]);
                maxv = Math.Max(maxv, nums[j]);
            }

            if (minv == maxv) {
                ans.Add(true);
                continue;
            }
            if ((maxv - minv) % (right - left) != 0) {
                ans.Add(false);
                continue;
            }

            int d = (maxv - minv) / (right - left);
            bool flag = true;
            bool[] seen = new bool[right - left + 1];
            for (int j = left; j <= right; ++j) {
                if ((nums[j] - minv) % d != 0) {
                    flag = false;
                    break;
                }
                int t = (nums[j] - minv) / d;
                if (seen[t]) {
                    flag = false;
                    break;
                }
                seen[t] = true;
            }
            ans.Add(flag);
        }
        return ans;
    }
}
[sol1-Python3]
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class Solution:
    def checkArithmeticSubarrays(self, nums: List[int], l: List[int], r: List[int]) -> List[bool]:
        ans = list()
        for left, right in zip(l, r):
            minv = min(nums[left:right+1])
            maxv = max(nums[left:right+1])
            
            if minv == maxv:
                ans.append(True)
                continue
            if (maxv - minv) % (right - left) != 0:
                ans.append(False)
                continue
            
            d = (maxv - minv) // (right - left)
            flag = True
            seen = set()
            for j in range(left, right + 1):
                if (nums[j] - minv) % d != 0:
                    flag = False
                    break
                t = (nums[j] - minv) // d
                if t in seen:
                    flag = False
                    break
                seen.add(t)
            ans.append(flag)
        
        return ans
[sol1-C]
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#define MAX(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define MIN(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

bool* checkArithmeticSubarrays(int* nums, int numsSize, int* l, int lSize, int* r, int rSize, int* returnSize){
    int n = lSize;
    bool *ans = (bool *)calloc(n, sizeof(bool));
    int pos = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int left = l[i], right = r[i];
        int minv = INT_MAX, maxv = INT_MIN;
        for (int j = left; j <= right; j++) {
            minv = MIN(minv, nums[j]);
            maxv = MAX(maxv, nums[j]);
        }        
        if (minv == maxv) {
            ans[pos++] = true;
            continue;
        }
        if ((maxv - minv) % (right - left) != 0) {
            ans[pos++] = false;
            continue;
        }
        
        int d = (maxv - minv) / (right - left);
        bool flag = true;
        int seen[right - left + 1];
        memset(seen, 0, sizeof(seen));
        for (int j = left; j <= right; ++j) {
            if ((nums[j] - minv) % d != 0) {
                flag = false;
                break;
            }
            int t = (nums[j] - minv) / d;
            if (seen[t]) {
                flag = false;
                break;
            }
            seen[t] = true;
        }
        ans[pos++] = flag;
    }
    *returnSize = pos;
    return ans;
}
[sol1-JavaScript]
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var checkArithmeticSubarrays = function(nums, l, r) {
    const n = l.length;
    const ans = [];
    for (let i = 0; i < n; ++i) {
        let left = l[i], right = r[i];
        let minv = nums[left], maxv = nums[left];
        for (let j = left + 1; j <= right; ++j) {
            minv = Math.min(minv, nums[j]);
            maxv = Math.max(maxv, nums[j]);
        }

        if (minv === maxv) {
            ans.push(true);
            continue;
        }
        if ((maxv - minv) % (right - left) !== 0) {
            ans.push(false);
            continue;
        }

        const d = (maxv - minv) / (right - left);
        let flag = true;
        const seen = new Array(right - left + 1).fill(0);
        for (let j = left; j <= right; ++j) {
            if ((nums[j] - minv) % d !== 0) {
                flag = false;
                break;
            }
            const t = Math.floor((nums[j] - minv) / d);
            if (seen[t]) {
                flag = false;
                break;
            }
            seen[t] = true;
        }
        ans.push(flag);
    }
    return ans;
};
[sol1-Golang]
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func checkArithmeticSubarrays(nums []int, l []int, r []int) []bool {
    ans := make([]bool, len(l))
    for i := range l {
        ans[i] = isArithmetic(nums[l[i] : r[i]+1])
    }
    return ans
}

func isArithmetic(nums []int) bool {
    n := len(nums)
    max, min := nums[0], nums[0]
    for _, v := range nums {
        if v > max {
            max = v
        }
        if v < min {
            min = v
        }
    }
    if max == min {
        return true
    }
    d := (max - min) / (n - 1)
    if (max - min) != d*(n-1) {
        return false
    }
    m := make(map[int]struct{})
    for _, v := range nums {
        m[v] = struct{}{}
    }
    for n--; n > 0; n-- {
        min += d
        if _, ok := m[min]; !ok {
            return false
        }
    }
    return true
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(nm)。其中 n 是数组 nums 的长度，m 是查询的次数。

  • 空间复杂度：O(n)，即为辅助数组或哈希表需要使用的空间。

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1630-等差子数组