1879-两个数组最小的异或值之和

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 16:06:24 2023-09-13 16:06:24 Updated    

给你两个整数数组 nums1 和 nums2 ，它们长度都为 n 。

两个数组的 异或值之和 为 (nums1[0] XOR nums2[0]) + (nums1[1] XOR nums2[1]) + ... + (nums1[n - 1] XOR nums2[n - 1]) （ 下标从 0 开始 ）。

  • 比方说，[1,2,3] 和 [3,2,1] 的 异或值之和 等于 (1 XOR 3) + (2 XOR 2) + (3 XOR 1) = 2 + 0 + 2 = 4 。

请你将 nums2 中的元素重新排列，使得 异或值之和 最小 。

请你返回重新排列之后的 异或值之和 。

示例 1：

**输入：** nums1 = [1,2], nums2 = [2,3]
**输出：** 2
**解释：** 将 nums2 重新排列得到 [3,2] 。
异或值之和为 (1 XOR 3) + (2 XOR 2) = 2 + 0 = 2 。

示例 2：

**输入：** nums1 = [1,0,3], nums2 = [5,3,4]
**输出：** 8
**解释：** 将 nums2 重新排列得到 [5,4,3] 。
异或值之和为 (1 XOR 5) + (0 XOR 4) + (3 XOR 3) = 4 + 4 + 0 = 8 。

提示：

  • n == nums1.length
  • n == nums2.length
  • 1 <= n <= 14
  • 0 <= nums1[i], nums2[i] <= 107

方法一：状态压缩动态规划

思路与算法

设数组 nums}_1 和 nums}_2 的长度为 n，我们可以用一个长度为 n 的二进制数 mask 表示数组 nums}_2 中的数被选择的状态：如果 mask 从低到高的第 i 位为 1，说明 nums}_2[i] 已经被选择，否则说明其未被选择。

这样一来，我们就可以使用动态规划解决本题。记 f[\textit{mask}] 表示当我们选择了数组 nums}_2 中的元素的状态为 mask，并且选择了数组 nums}_1 的前 count}(\textit{mask}) 个元素的情况下，可以组成的最小的异或值之和。

这里的 count}(\textit{mask}) 表示 mask 的二进制表示中 1 的个数。

为了叙述方便，记 c = \text{count}(\textit{mask})。在进行状态转移时，我们可以枚举 nums}_1[c-1] 与 nums}_2 中的哪一个元素进行了异或运算，假设其为 nums}_2[i]，那么有状态转移方程：

f[\textit{mask}] = \min_{\textit{mask} 二进制表示的第 i 位为 1} \big{ f[\textit{mask} \backslash i] + (\textit{nums}_1[c-1] \oplus \textit{nums}_2[i]) \big}

其中 \oplus 表示异或运算，mask} \backslash i 表示将 mask 的第 i 位从 1 变为 0。

最终的答案即为 f[2^n - 1]。

细节

  • mask} \backslash i 可以使用异或运算 mask} \oplus 2^i 实现；

  • 判断 mask 的第 i 位是否为 1，等价于判断按位与运算 mask} \wedge 2^i 的值是否大于 0；

  • 由于我们需要求出的是最小值，因此可以将所有的状态初始化为极大值 \infty，方便进行状态转移。动态规划的边界条件为 f[0]=0，即未选择任何数时，异或值之和为 0。

代码

[sol1-C++]
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class Solution {
public:
    int minimumXORSum(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n = nums1.size();
        vector<int> f(1 << n, INT_MAX);
        f[0] = 0;
        for (int mask = 1; mask < (1 << n); ++mask) {
            for (int i = 0; i < n; ++i) {
                if (mask & (1 << i)) {
                    f[mask] = min(f[mask], f[mask ^ (1 << i)] + (nums1[__builtin_popcount(mask) - 1] ^ nums2[i]));
                }
            }
        }
        return f[(1 << n) - 1];
    }
};
[sol1-Python3]
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class Solution:
    def minimumXORSum(self, nums1: List[int], nums2: List[int]) -> int:
        n = len(nums1)
        f = [float("inf")] * (1 << n)
        f[0] = 0

        for mask in range(1, 1 << n):
            c = bin(mask).count("1")
            for i in range(n):
                if mask & (1 << i):
                    f[mask] = min(f[mask], f[mask ^ (1 << i)] + (nums1[c - 1] ^ nums2[i]))
        
        return f[(1 << n) - 1]

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(2^n \cdot n)，其中 n 是数组 nums}_1 和 nums}_2 的长度。状态的数量为 O(2^n)，每个状态需要 O(n) 的时间计算结果，因此总时间复杂度为 O(2^n \cdot n)。

  • 空间复杂度：O(2^n)，即为状态的数量。

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