2111-使数组 K 递增的最少操作次数

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 16:06:26 2023-09-13 16:06:26 Updated    

给你一个下标从 0 开始包含 n 个正整数的数组 arr ，和一个正整数 k 。

如果对于每个满足 k <= i <= n-1 的下标 i ，都有 arr[i-k] <= arr[i] ，那么我们称 arr 是 K
递增 的。

  • 比方说，arr = [4, 1, 5, 2, 6, 2] 对于 k = 2 是 K 递增的，因为：
    • arr[0] <= arr[2] (4 <= 5)
    • arr[1] <= arr[3] (1 <= 2)
    • arr[2] <= arr[4] (5 <= 6)
    • arr[3] <= arr[5] (2 <= 2)
  • 但是，相同的数组 arr 对于 k = 1 不是 K 递增的（因为 arr[0] > arr[1]），对于 k = 3 也不是 K 递增的（因为 arr[0] > arr[3] ）。

每一次 操作 中，你可以选择一个下标 i 并将 arr[i] **改成任意 **正整数。

请你返回对于给定的 k ，使数组变成 K 递增的 最少操作次数 。

示例 1：

**输入：** arr = [5,4,3,2,1], k = 1
**输出：** 4
**解释：** 对于 k = 1 ，数组最终必须变成非递减的。
可行的 K 递增结果数组为 [5, _ **6**_ , _ **7**_ , _ **8**_ , _ **9**_ ]，[ _ **1**_ , _ **1**_ , _ **1**_ , _ **1**_ ,1]，[ _ **2**_ , _ **2**_ ,3, _ **4**_ , _ **4**_ ] 。它们都需要 4 次操作。
次优解是将数组变成比方说 [ _ **6**_ , _ **7**_ , _ **8**_ , _ **9**_ , _ **10**_ ] ，因为需要 5 次操作。
显然我们无法使用少于 4 次操作将数组变成 K 递增的。

示例 2：

**输入：** arr = [4,1,5,2,6,2], k = 2
**输出：** 0
**解释：**
这是题目描述中的例子。
对于每个满足 2 <= i <= 5 的下标 i ，有 arr[i-2] <= **** arr[i] 。
由于给定数组已经是 K 递增的，我们不需要进行任何操作。

示例 3：

**输入：** arr = [4,1,5,2,6,2], k = 3
**输出：** 2
**解释：**
下标 3 和 5 是仅有的 3 <= i <= 5 且不满足 arr[i-3] <= arr[i] 的下标。
将数组变成 K 递增的方法之一是将 arr[3] 变为 4 ，且将 arr[5] 变成 5 。
数组变为 [4,1,5, _ **4**_ ,6, _ **5**_ ] 。
可能有其他方法将数组变为 K 递增的，但没有任何一种方法需要的操作次数小于 2 次。

提示：

  • 1 <= arr.length <= 105
  • 1 <= arr[i], k <= arr.length

方法一：动态规划

提示 1

题目的要求本质上是对于每一个 i~(0 \leq i < k)，数组 arr 的子序列：

\textit{arr}[i], \textit{arr}[i + k], \textit{arr}[i + 2k], \cdots

是单调递增的。

提示 1 解释

由于 arr}[i - k] \leq \textit{arr}[i]，它也可以写成 arr}[i] \leq \textit{arr}[i + k]。如果我们对于 arr}[i + k] 也套用这个不等式，就可以得到 arr}[i + k] \leq \textit{arr}[i + 2k]。以此类推，我们就可以得到：

\textit{arr}[i] \leq \textit{arr}[i + k] \leq \textit{arr}[i + 2k] \leq \cdots

也就是说，我们将数组 arr 中的每个元素根据其下标对 k 取模的值，分成了 k 个子序列（即下标对 k 取模的值分别为 0, 1, \cdots, k-1）。这 k-1 个子序列分别都是单调递增的。

提示 2

对于给定的一个序列，如果我们希望通过修改最少的元素，使得它单调递增，那么最少需要修改的元素个数，就是「序列的长度」减去「序列的最长递增子序列」的长度。

提示 2 解释

我们可以这样想：对于序列中那些需要被修改的元素，由于我们可以把它们修改成任意元素，因此它们修改之前的值并不重要，我们可以忽略它们。

而对于序列中那些没有被修改的元素，由于最终的序列是单调递增的，因此这些没有被修改的元素组成的子序列也一定是单调递增的。要想修改的元素越少，这个子序列就要越长。因此我们的目标就是求出序列的最长递增的子序列。

思路与算法

我们对于每一个满足 0 \leq i < k 的 i，抽取出数组 arr 的子序列：

\textit{arr}[i], \textit{arr}[i + k], \textit{arr}[i + 2k], \cdots

设其长度为 length，最长递增的子序列的长度为 f，那么最少需要修改的元素个数即为 length} - f。

最终的答案即为所有的 length} - f 之和。

细节

求解最长递增子序列可以参考「300. 最长递增子序列」的官方题解 的方法二，这里不再赘述。

代码

[sol1-C++]
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class Solution {
public:
    int kIncreasing(vector<int>& arr, int k) {
        int n = arr.size();
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < k; ++i) {
            vector<int> f;
            int length = 0;
            for (int j = i; j < n; j += k) {
                ++length;
                auto it = upper_bound(f.begin(), f.end(), arr[j]);
                if (it == f.end()) {
                    f.push_back(arr[j]);
                }
                else {
                    *it = arr[j];
                }
            }
            ans += length - f.size();
        }
        return ans;
    }
};
[sol1-Python3]
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class Solution:
    def kIncreasing(self, arr: List[int], k: int) -> int:
        n = len(arr)
        ans = 0
        for i in range(k):
            f = list()
            j, length = i, 0
            while j < n:
                length += 1
                it = bisect_right(f, arr[j])
                if it == len(f):
                    f.append(arr[j])
                else:
                    f[it] = arr[j]
                j += k
            ans += length - len(f)
        return ans

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n \log \dfrac{n}{k})。每个序列的长度为 O(\dfrac{n}{k})，寻找其最长递增子序列需要的时间为 O(\dfrac{n}{k} \log \dfrac{n}{k})，而一共有 k 个序列，因此总时间复杂度为 O(n \log \dfrac{n}{k})。

  • 空间复杂度：O(\dfrac{n}{k})，即为寻找单个序列的最长递增子序列时，数组 f 需要的空间。

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