2140-解决智力问题

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 16:06:28 2023-09-13 16:06:28 Updated    

给你一个下标从 0 开始的二维整数数组 questions ，其中 questions[i] = [pointsi, brainpoweri] 。

这个数组表示一场考试里的一系列题目，你需要 按顺序 （也就是从问题 0 ** ** 开始依次解决），针对每个问题选择 解决 或者
跳过 操作。解决问题 i 将让你 获得 pointsi 的分数，但是你将 无法 解决接下来的
brainpoweri 个问题（即只能跳过接下来的 brainpoweri 个问题）。如果你跳过问题 i ，你可以对下一个问题决定使用哪种操作。

  • 比方说，给你 questions = [[3, 2], [4, 3], [4, 4], [2, 5]] ：
    • 如果问题 0 被解决了， 那么你可以获得 3 分，但你不能解决问题 1 和 2 。
    • 如果你跳过问题 0 ，且解决问题 1 ，你将获得 4 分但是不能解决问题 2 和 3 。

请你返回这场考试里你能获得的 最高 分数。

示例 1：

**输入：** questions = [[3,2],[4,3],[4,4],[2,5]]
**输出：** 5
**解释：** 解决问题 0 和 3 得到最高分。
- 解决问题 0 ：获得 3 分，但接下来 2 个问题都不能解决。
- 不能解决问题 1 和 2
- 解决问题 3 ：获得 2 分
总得分为：3 + 2 = 5 。没有别的办法获得 5 分或者多于 5 分。

示例 2：

**输入：** questions = [[1,1],[2,2],[3,3],[4,4],[5,5]]
**输出：** 7
**解释：** 解决问题 1 和 4 得到最高分。
- 跳过问题 0
- 解决问题 1 ：获得 2 分，但接下来 2 个问题都不能解决。
- 不能解决问题 2 和 3
- 解决问题 4 ：获得 5 分
总得分为：2 + 5 = 7 。没有别的办法获得 7 分或者多于 7 分。

提示：

  • 1 <= questions.length <= 105
  • questions[i].length == 2
  • 1 <= pointsi, brainpoweri <= 105

方法一：动态规划

提示 1

我们可以尝试用 dp}[i] 来表示解决前 i 道题目可以获得的最高分数。根据是否选择解决第 i 道题目，会有以下两种情况：

  • 不解决第 i 道题目，此时 dp}[i] = \textit{dp}[i-1]；
  • 解决第 i 道题目，此时要么前面的题目都未解决，要么上一道解决的题目对应的冷冻期已经结束。具体而言：

\textit{dp}[i] = \textit{points}[i] + \max(0, \max_{j \in [0, i - 1], j + \textit{brainpower}[j] < i} dp[j]).

由于每一道题对应的冷冻期都不一样，因此我们很难在不通过遍历 [0, i - 1] 闭区间内的全部下标，以判断对应的冷冻期是否结束的情况下更新 dp}[i]。我们假设题目的总数为 n，这样的时间复杂度为 O(n^2)，不符合题目要求。

提示 2

我们可以从无后效性的角度考虑动态规划「状态」的定义。对于每一道题目，解决与否会影响到后面一定数量题目的结果，但不会影响到前面题目的解决。因此我们可以考虑从反方向定义「状态」，即考虑解决每道题本身及以后的题目可以获得的最高分数。

思路与算法

根据提示 2，我们用 dp}[i] 来表示解决第 i 道题目及以后的题目可以获得的最高分数。同时，我们从后往前遍历题目，并更新 dp 数组。类似地，根据是否选择解决第 i 道题目，会有以下两种情况：

  • 不解决第 i 道题目，此时 dp}[i] = \textit{dp}[i+1]；
  • 解决第 i 道题目，我们只能解决下标大于 i + \textit{brainpower}[i] 的题目，而此时根据 dp 数组的定义，解决这些题目的最高分数为 dp[i + \textit{brainpower}[i] + 1]（当 i \ge n 的情况下，我们认为 dp[i] = 0）。因此，我们有：

\textit{dp}[i] = \textit{points}[i] + dp[i + \textit{brainpower}[i] + 1].

综合上述两种情况，我们就得出了 dp}[i] 的状态转移方程：

\textit{dp}[i] = \max(\textit{dp}[i+1], \textit{points}[i] + dp[i + \textit{brainpower}[i] + 1]).

在实际计算中，考虑到 i \ge n 的边界条件，我们在定义 dp 数组时，可以预留 dp[n] = 0 用来表示没有做任何题目的分数。那么上面的转移方程变为：

\textit{dp}[i] = \max(\textit{dp}[i+1], \textit{points}[i] + dp[\min(n, i + \textit{brainpower}[i] + 1)]).

最终，dp[0] 即为考试中可以获得的最高分数，我们返回该数值作为答案。

细节

在计算 dp 数组时，数组元素的大小有可能超过 32 为有符号整数的上界，因此对于 C++ 等语言，我们需要用 64 位整数来存储 dp 数组。

代码

[sol1-C++]
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class Solution {
public:
    long long mostPoints(vector<vector<int>>& questions) {
        int n = questions.size();
        vector<long long> dp(n + 1);   // 解决每道题及以后题目的最高分数
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            dp[i] = max(dp[i + 1], questions[i][0] + dp[min(n, i + questions[i][1] + 1)]);
        }
        return dp[0];
    }
};
[sol1-Python3]
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def mostPoints(self, questions: List[List[int]]) -> int:
    n = len(questions)
    dp = [0] * (n + 1)   # 解决每道题及以后题目的最高分数
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        dp[i] = max(dp[i + 1], questions[i][0] + dp[min(n, i + questions[i][1] + 1)])
    return dp[0]

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n)，其中 n 为 questions 数组的长度。即为动态规划计算可以获得的最高分数的时间复杂度。

  • 空间复杂度：O(n)，即为动态规划数组的空间开销。

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