2731-移动机器人

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 16:06:24 2023-09-13 16:06:24 Updated    

有一些机器人分布在一条无限长的数轴上，他们初始坐标用一个下标从 0 开始的整数数组 nums
表示。当你给机器人下达命令时，它们以每秒钟一单位的速度开始移动。

给你一个字符串 s ，每个字符按顺序分别表示每个机器人移动的方向。'L' 表示机器人往左或者数轴的负方向移动，'R'
表示机器人往右或者数轴的正方向移动。

当两个机器人相撞时，它们开始沿着原本相反的方向移动。

请你返回指令重复执行 d 秒后，所有机器人之间两两距离之和。由于答案可能很大，请你将答案对 109 + 7 取余后返回。

注意：

  • 对于坐标在 i 和 j 的两个机器人，(i,j) 和 (j,i) 视为相同的坐标对。也就是说，机器人视为无差别的。

  • 当机器人相撞时，它们 立即改变 它们的前进时间，这个过程不消耗任何时间。

  • 当两个机器人在同一时刻占据相同的位置时，就会相撞。

    • 例如，如果一个机器人位于位置 0 并往右移动，另一个机器人位于位置 2 并往左移动，下一秒，它们都将占据位置 1，并改变方向。再下一秒钟后，第一个机器人位于位置 0 并往左移动，而另一个机器人位于位置 2 并往右移动。

    • 例如，如果一个机器人位于位置 0 并往右移动，另一个机器人位于位置 1 并往左移动，下一秒，第一个机器人位于位置 0 并往左行驶，而另一个机器人位于位置 1 并往右移动。

示例 1：

**输入：** nums = [-2,0,2], s = "RLL", d = 3
**输出：** 8
**解释：**
1 秒后，机器人的位置为 [-1,-1,1] 。现在下标为 0 的机器人开始往左移动，下标为 1 的机器人开始往右移动。
2 秒后，机器人的位置为 [-2,0,0] 。现在下标为 1 的机器人开始往左移动，下标为 2 的机器人开始往右移动。
3 秒后，机器人的位置为 [-3,-1,1] 。
下标为 0 和 1 的机器人之间距离为 abs(-3 - (-1)) = 2 。
下标为 0 和 2 的机器人之间的距离为 abs(-3 - 1) = 4 。
下标为 1 和 2 的机器人之间的距离为 abs(-1 - 1) = 2 。
所有机器人对之间的总距离为 2 + 4 + 2 = 8 。

示例 2：

**输入：** nums = [1,0], s = "RL", d = 2
**输出：** 5
**解释：**
1 秒后，机器人的位置为 [2,-1] 。
2 秒后，机器人的位置为 [3,-2] 。
两个机器人的距离为 abs(-2 - 3) = 5 。

提示：

  • 2 <= nums.length <= 105
  • -2 * 109 <= nums[i] <= 2 * 109
  • 0 <= d <= 109
  • nums.length == s.length
  • s 只包含 'L' 和 'R' 。
  • nums[i] 互不相同。

视频讲解（第三题）

提示 1

题目最后要求机器人之间的距离，此时把任意两个机器人的位置交换，并不会对答案产生影响。

假设 d 秒后机器人的位置数组为 [1,2,3]，那么交换成 [2,1,3]，所有机器人之间两两距离之和保持不变。

既然如此，那么可以把机器人都看成是完全一样的，无法区分。

提示 2

相撞等价于机器人互相穿过对方，因为我们无法区分机器人。

所以可以无视相撞的规则，把每个机器人都看成是独立运动的。

类似的思路在 1503. 所有蚂蚁掉下来前的最后一刻 中出现过。

提示 3

设 d 秒后机器人的位置数组为 a，根据提示 1，可以把数组 a 从小到大排序，再计算所有机器人之间两两距离之和。

从小到大枚举 a[i]，此时左边有 i 个数都不超过 a[i]，那么 a[i] 与其左侧机器人的距离之和为

\begin{aligned}
&(a[i] - a[0])+ (a[i] - a[1]) + \cdots + (a[i] - a[i-1])\
=&\ i\cdot a[i] - (a[0] + a[1] + \cdots + a[i-1])
\end{aligned}

其中 a[0] + a[1] + \cdots + a[i-1] 可以一边遍历 a，一边计算出来。

计算时，为了避免溢出，需要取模。这样做的正确性见下面的「算法小课堂：模运算」。

答疑

问：为什么不能对 a[i] 取模？

答：注意 a 中第 i 小的数要乘上 i，取模后每个元素的大小关系就乱了，原来第 i 小的数要乘的就不一定是 i 了，所以会算出错误的结果。

[sol-Python3]
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class Solution:
    def sumDistance(self, nums: List[int], s: str, d: int) -> int:
        MOD = 10 ** 9 + 7
        for i, c in enumerate(s):
            nums[i] += d if c == 'R' else -d
        nums.sort()
        ans = s = 0
        for i, x in enumerate(nums):
            ans += i * x - s
            s += x
        return ans % MOD
[sol-Java]
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class Solution {
    public int sumDistance(int[] nums, String s, int d) {
        final long MOD = (long) 1e9 + 7;
        int n = nums.length;
        var a = new long[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) // 注意 2e9+1e9 溢出了
            a[i] = (long) nums[i] + d * ((s.charAt(i) & 2) - 1); // L=-1, R=1
        long ans = 0, sum = 0;
        Arrays.sort(a);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ans = (ans + i * a[i] - sum) % MOD;
            sum += a[i];
        }
        return (int) ans;
    }
}
[sol-C++]
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class Solution {
public:
    int sumDistance(vector<int> &nums, string s, int d) {
        const int MOD = 1e9 + 7;
        int n = nums.size();
        long long a[n], ans = 0, sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) // 注意 2e9+1e9 溢出了
            a[i] = (long long) nums[i] + d * ((s[i] & 2) - 1); // L=-1, R=1
        sort(a, a + n);
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ans = (ans + i * a[i] - sum) % MOD;
            sum += a[i];
        }
        return ans;
    }
};
[sol-Go]
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func sumDistance(nums []int, s string, d int) (ans int) {
	const mod int = 1e9 + 7
	for i, c := range s {
		nums[i] += d * int(c&2-1) // L=-1, R=1
	}
	sort.Ints(nums)
	sum := 0
	for i, x := range nums {
		ans = (ans + i*x - sum) % mod
		sum += x
	}
	return
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：\mathcal{O}(n\log n)，其中 n 为 nums 的长度。瓶颈在排序上。
  • 空间复杂度：\mathcal{O}(n) 或 \mathcal{O}(1)。如果需要用一个新的 nums 数组记录则需要 \mathcal{O}(n) 空间，否则为 \mathcal{O}(1)。

算法小课堂：模运算

如果让你计算 1234\cdot 6789 的个位数，你会如何计算？

由于只有个位数会影响到乘积的个位数，那么 4\cdot 9=36 的个位数 6 就是答案。

对于 1234+6789 的个位数，同理，4+9=13 的个位数 3 就是答案。

你能把这个结论抽象成数学等式吗？

一般地，涉及到取模的题目，通常会用到如下等式（上面计算的是 m=10）：

(a+b)\bmod m = ((a\bmod m) + (b\bmod m)) \bmod m

(a\cdot b) \bmod m=((a\bmod m)\cdot (b\bmod m)) \bmod m

证明：根据带余除法，任意整数 a 都可以表示为 a=km+r，这里 r 相当于 a\bmod m。那么设 a=k_1m+r_1,\ b=k_2m+r_2。

第一个等式：

\begin{aligned}
&\ (a+b) \bmod m\
=&\ ((k_1+k_2) m+r_1+r_2)\bmod m\
=&\ (r_1+r_2)\bmod m\
=&\ ((a\bmod m) + (b\bmod m)) \bmod m
\end{aligned}

第二个等式：

\begin{aligned}
&\ (a\cdot b) \bmod m\
=&\ (k_1k_2m^2+(k_1r_2+k_2r_1)m+r_1r_2)\bmod m\
=&\ (r_1r_2)\bmod m\
=&\ ((a\bmod m)\cdot (b\bmod m)) \bmod m
\end{aligned}

根据这两个恒等式，可以随意地对代码中的加法和乘法的结果取模。

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