LCP 11-期望个数统计

某互联网公司一年一度的春招开始了，一共有 n
名面试者入选。每名面试者都会提交一份简历，公司会根据提供的简历资料产生一个预估的能力值，数值越大代表越有可能通过面试。

小 A 和小 B
负责审核面试者，他们均有所有面试者的简历，并且将各自根据面试者能力值从大到小的顺序浏览。由于简历事先被打乱过，能力值相同的简历的出现顺序是从它们的全排列中
等可能 地取一个。现在给定 n 名面试者的能力值 scores，设 X 代表小 A 和小 B 的浏览顺序中出现在同一位置的简历数，求
X 的期望。

提示：离散的非负随机变量的期望计算公式为
。在本题中，由于
X 的取值为 0 到 n 之间，期望计算公式可以是
。

示例 1：

输入：scores = [1,2,3]

输出：3

解释：由于面试者能力值互不相同，小 A 和小 B 的浏览顺序一定是相同的。X的期望是 3 。

示例 2：

输入：scores = [1,1]

输出：1

解释：设两位面试者的编号为 0, 1。由于他们的能力值都是 1，小 A 和小 B 的浏览顺序都为从全排列 [[0,1],[1,0]]
中等可能地取一个。如果小 A 和小 B 的浏览顺序都是 [0,1] 或者 [1,0] ，那么出现在同一位置的简历数为 2 ，否则是 0 。所以
X 的期望是 (2+0+2+0) * 1/4 = 1

示例 3：

输入：scores = [1,1,2]

输出：2

限制：

1 <= scores.length <= 10^5
0 <= scores[i] <= 10^6

题意概述：

对于一个排好序的序列，对相同的数字随机打乱顺序后期望有多少个数字保持原位置不变。

题解

经过分析，我们发现不同能力值的简历是不会互相影响的，所以问题可以简化为有一个长度为 n 的的数组，将里面的元素按照全排列随机排序后，问有多少个元素还在原位。设这个随机变量为 X ，并且设 X_i 是第 i 个元素还在原位的 0-1 变量，即如果第 i 个元素还在原位， X_i = 1 ，否则 X_i = 0。每一个元素随机排序后还在原位的概率是 1}{n 。

由期望的可加性，我们可以得到

E(X) = E(X_0 + X_1 + \cdots + X_{n - 1}) = \sum_{0 \leq i < n}E(X_i) = 1}{n} * n = 1

我们发现E(X)跟数组元素的长度无关，所以我们只需要求这个数组中的不同数字的个数即可。

方法一：

排序 + 除重

class Solution {
public:
    int expectNumber(vector<int>& scores) {
        sort(scores.begin(), scores.end());
        return unique(scores.begin(), scores.end()) - scores.begin();
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：O(N \log N)，其中 N 是数组的大小。
空间复杂度：O(N)。

方法二：

哈希表

class Solution:
    def expectNumber(self, scores: List[int]) -> int:
        return len(set(scores))

复杂度分析

时间复杂度：O(N)，其中 N 是数组的大小。
空间复杂度：O(N)。