LCR 070-有序数组中的单一元素

给定一个只包含整数的有序数组 nums ，每个元素都会出现两次，唯有一个数只会出现一次，请找出这个唯一的数字。

示例 1:

**输入:** nums = [1,1,2,3,3,4,4,8,8]
**输出:** 2

示例 2:

**输入:** nums =  [3,3,7,7,10,11,11]
**输出:** 10

提示:

• 1 <= nums.length <= 105
• 0 <= nums[i] <= 105

进阶: 采用的方案可以在 O(log n) 时间复杂度和 O(1) 空间复杂度中运行吗？

注意：本题与主站 540 题相同：<https://leetcode-cn.com/problems/single-element-in-a-sorted-
array/>

方法一：全数组的二分查找

思路和算法

假设只出现一次的元素位于下标 x，由于其余每个元素都出现两次，因此下标 x 的左边和右边都有偶数个元素，数组的长度是奇数。

由于数组是有序的，因此数组中相同的元素一定相邻。对于下标 x 左边的下标 y，如果 nums}[y] = \textit{nums}[y + 1]，则 y 一定是偶数；对于下标 x 右边的下标 z，如果 nums}[z] = \textit{nums}[z + 1]，则 z 一定是奇数。由于下标 x 是相同元素的开始下标的奇偶性的分界，因此可以使用二分查找的方法寻找下标 x。

初始时，二分查找的左边界是 0，右边界是数组的最大下标。每次取左右边界的平均值 mid 作为待判断的下标，根据 mid 的奇偶性决定和左边或右边的相邻元素比较：

• 如果 mid 是偶数，则比较 nums}[\textit{mid}] 和 nums}[\textit{mid} + 1] 是否相等；

• 如果 mid 是奇数，则比较 nums}[\textit{mid} - 1] 和 nums}[\textit{mid}] 是否相等。

如果上述比较相邻元素的结果是相等，则 mid} < x，调整左边界，否则 mid} \ge x，调整右边界。调整边界之后继续二分查找，直到确定下标 x 的值。

得到下标 x 的值之后，nums}[x] 即为只出现一次的元素。

细节

利用按位异或的性质，可以得到 mid 和相邻的数之间的如下关系，其中 \oplus 是按位异或运算符：

• 当 mid 是偶数时，mid} + 1 = \textit{mid} \oplus 1；

• 当 mid 是奇数时，mid} - 1 = \textit{mid} \oplus 1。

因此在二分查找的过程中，不需要判断 mid 的奇偶性，mid 和 mid} \oplus 1 即为每次需要比较元素的两个下标。

代码

[sol1-Java]

class Solution {
    public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
        int low = 0, high = nums.length - 1;
        while (low < high) {
            int mid = (high - low) / 2 + low;
            if (nums[mid] == nums[mid ^ 1]) {
                low = mid + 1;
            } else {
                high = mid;
            }
        }
        return nums[low];
    }
}

[sol1-C#]

public class Solution {
    public int SingleNonDuplicate(int[] nums) {
        int low = 0, high = nums.Length - 1;
        while (low < high) {
            int mid = (high - low) / 2 + low;
            if (nums[mid] == nums[mid ^ 1]) {
                low = mid + 1;
            } else {
                high = mid;
            }
        }
        return nums[low];
    }
}

[sol1-C++]

class Solution {
public:
    int singleNonDuplicate(vector<int>& nums) {
        int low = 0, high = nums.size() - 1;
        while (low < high) {
            int mid = (high - low) / 2 + low;
            if (nums[mid] == nums[mid ^ 1]) {
                low = mid + 1;
            } else {
                high = mid;
            }
        }
        return nums[low];
    }
};

[sol1-C]

int singleNonDuplicate(int* nums, int numsSize) {
    int low = 0, high = numsSize - 1;
    while (low < high) {
        int mid = (high - low) / 2 + low;
        if (nums[mid] == nums[mid ^ 1]) {
            low = mid + 1;
        } else {
            high = mid;
        }
    }
    return nums[low];
}

[sol1-Golang]

func singleNonDuplicate(nums []int) int {
    low, high := 0, len(nums)-1
    for low < high {
        mid := low + (high-low)/2
        if nums[mid] == nums[mid^1] {
            low = mid + 1
        } else {
            high = mid
        }
    }
    return nums[low]
}

[sol1-Python3]

class Solution:
    def singleNonDuplicate(self, nums: List[int]) -> int:
        low, high = 0, len(nums) - 1
        while low < high:
            mid = (low + high) // 2
            if nums[mid] == nums[mid ^ 1]:
                low = mid + 1
            else:
                high = mid
        return nums[low]

[sol1-JavaScript]

var singleNonDuplicate = function(nums) {
    let low = 0, high = nums.length - 1;
    while (low < high) {
        const mid = Math.floor((high - low) / 2) + low;
        if (nums[mid] === nums[mid ^ 1]) {
            low = mid + 1;
        } else {
            high = mid;
        }
    }
    return nums[low];
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(\log n)，其中 n 是数组 nums 的长度。需要在全数组范围内二分查找，二分查找的时间复杂度是 O(\log n)。

• 空间复杂度：O(1)。

方法二：偶数下标的二分查找

思路和算法

由于只出现一次的元素所在下标 x 的左边有偶数个元素，因此下标 x 一定是偶数，可以在偶数下标范围内二分查找。二分查找的目标是找到满足 nums}[x] \ne \textit{nums}[x + 1] 的最小的偶数下标 x，则下标 x 处的元素是只出现一次的元素。

初始时，二分查找的左边界是 0，右边界是数组的最大偶数下标，由于数组的长度是奇数，因此数组的最大偶数下标等于数组的长度减 1。每次取左右边界的平均值 mid 作为待判断的下标，如果 mid 是奇数则将 mid 减 1，确保 mid 是偶数，比较 nums}[\textit{mid}] 和 nums}[\textit{mid} + 1] 是否相等，如果相等则 mid} < x，调整左边界，否则 mid} \ge x，调整右边界。调整边界之后继续二分查找，直到确定下标 x 的值。

得到下标 x 的值之后，nums}[x] 即为只出现一次的元素。

细节

考虑 mid 和 1 按位与运算的结果，其中 & 是按位与运算符：

• 当 mid 是偶数时，mid}&1 = 0；

• 当 mid 是奇数时，mid}&1 = 1。

因此在得到 mid 的值之后，将 mid 的值减去 mid}&1，即可确保 mid 是偶数，如果原来的 mid 是偶数则值不变，如果原来的 mid 是奇数则值减 1。

代码

[sol2-Java]

class Solution {
    public int singleNonDuplicate(int[] nums) {
        int low = 0, high = nums.length - 1;
        while (low < high) {
            int mid = (high - low) / 2 + low;
            mid -= mid & 1;
            if (nums[mid] == nums[mid + 1]) {
                low = mid + 2;
            } else {
                high = mid;
            }
        }
        return nums[low];
    }
}

[sol2-C#]

public class Solution {
    public int SingleNonDuplicate(int[] nums) {
        int low = 0, high = nums.Length - 1;
        while (low < high) {
            int mid = (high - low) / 2 + low;
            mid -= mid & 1;
            if (nums[mid] == nums[mid + 1]) {
                low = mid + 2;
            } else {
                high = mid;
            }
        }
        return nums[low];
    }
}

[sol2-C++]

class Solution {
public:
    int singleNonDuplicate(vector<int>& nums) {
        int low = 0, high = nums.size() - 1;
        while (low < high) {
            int mid = (high - low) / 2 + low;
            mid -= mid & 1;
            if (nums[mid] == nums[mid + 1]) {
                low = mid + 2;
            } else {
                high = mid;
            }
        }
        return nums[low];
    }
};

[sol2-C]

int singleNonDuplicate(int* nums, int numsSize) {
    int low = 0, high = numsSize - 1;
    while (low < high) {
        int mid = (high - low) / 2 + low;
        mid -= mid & 1;
        if (nums[mid] == nums[mid + 1]) {
            low = mid + 2;
        } else {
            high = mid;
        }
    }
    return nums[low];
}

[sol2-Golang]

func singleNonDuplicate(nums []int) int {
    low, high := 0, len(nums)-1
    for low < high {
        mid := low + (high-low)/2
        mid -= mid & 1
        if nums[mid] == nums[mid+1] {
            low = mid + 2
        } else {
            high = mid
        }
    }
    return nums[low]
}

[sol2-Python3]

class Solution:
    def singleNonDuplicate(self, nums: List[int]) -> int:
        low, high = 0, len(nums) - 1
        while low < high:
            mid = (low + high) // 2
            mid -= mid & 1
            if nums[mid] == nums[mid + 1]:
                low = mid + 2
            else:
                high = mid
        return nums[low]

[sol2-JavaScript]

var singleNonDuplicate = function(nums) {
    let low = 0, high = nums.length - 1;
    while (low < high) {
        let mid = Math.floor((high - low) / 2) + low;
        mid -= mid & 1;
        if (nums[mid] === nums[mid + 1]) {
            low = mid + 2;
        } else {
            high = mid;
        }
    }
    return nums[low];
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(\log n)，其中 n 是数组 nums 的长度。需要在偶数下标范围内二分查找，二分查找的时间复杂度是 O(\log n)。

• 空间复杂度：O(1)。