0033-搜索旋转排序数组

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了旋转，使数组变为
[nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]（下标
从 0 开始 计数）。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处经旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target
，则返回它的下标，否则返回 -1 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

**输入：** nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
**输出：** 4

示例 2：

**输入：** nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
**输出：** -1

示例 3：

**输入：** nums = [1], target = 0
**输出：** -1

提示：

1 <= nums.length <= 5000
-104 <= nums[i] <= 104
nums 中的每个值都 独一无二
题目数据保证 nums 在预先未知的某个下标上进行了旋转
-104 <= target <= 104

[]class Solution {
public:
    int search(vector<int>& nums, int target) {
        int lo = 0, hi = nums.size() - 1;
        while (lo < hi) {
            int mid = (lo + hi) / 2;
            if ((nums[0] > target) ^ (nums[0] > nums[mid]) ^ (target > nums[mid]))
                lo = mid + 1;
            else
                hi = mid;
        }
        return lo == hi && nums[lo] == target ? lo : -1;
    }
};

以二分搜索为基本思路

简要来说：

nums[0] <= nums[mid]（0 - mid不包含旋转）且nums[0] <= target <= nums[mid] 时 high 向前规约；
nums[mid] < nums[0]（0 - mid包含旋转），target <= nums[mid] < nums[0] 时向前规约（target 在旋转位置到 mid 之间）
nums[mid] < nums[0]，nums[mid] < nums[0] <= target 时向前规约（target 在 0 到旋转位置之间）
其他情况向后规约

也就是说nums[mid] < nums[0]，nums[0] > target，target > nums[mid] 三项均为真或者只有一项为真时向后规约。

原文的分析是：

注意到原数组为有限制的有序数组（除了在某个点会突然下降外均为升序数组）

if nums[0] <= nums[I] 那么 nums[0] 到 nums[i] 为有序数组,那么当 nums[0] <= target <= nums[i] 时我们应该在 $0-i$ 范围内查找；
if nums[i] < nums[0] 那么在 $0-i$ 区间的某个点处发生了下降（旋转），那么 $I+1$ 到最后一个数字的区间为有序数组，并且所有的数字都是小于 nums[0] 且大于 nums[i]，当target不属于 nums[0] 到 nums[i] 时（target <= nums[i] < nums[0] or nums[i] < nums[0] <= target），我们应该在 $0-i$ 区间内查找。
上述三种情况可以总结如下：
1
2
3
nums[0] <= target <= nums[i]
target <= nums[i] < nums[0]
nums[i] < nums[0] <= target
所以我们进行三项判断：

(nums[0] <= target)， (target <= nums[i]) ，(nums[i] < nums[0])，现在我们想知道这三项中有哪两项为真（明显这三项不可能均为真或均为假（因为这三项可能已经包含了所有情况））

所以我们现在只需要区别出这三项中有两项为真还是只有一项为真。

使用 “异或” 操作可以轻松的得到上述结果（两项为真时异或结果为假，一项为真时异或结果为真，可以画真值表进行验证）

之后我们通过二分查找不断做小 target 可能位于的区间直到 low==high，此时如果 nums[low]==target 则找到了，如果不等则说明该数组里没有此项。