0452-用最少数量的箭引爆气球
有一些球形气球贴在一堵用 XY 平面表示的墙面上。墙面上的气球记录在整数数组 points
,其中points[i] = [xstart, xend]
表示水平直径在 xstart
和 xend
之间的气球。你不知道气球的确切 y 坐标。
一支弓箭可以沿着 x 轴从不同点 完全垂直 地射出。在坐标 x
处射出一支箭,若有一个气球的直径的开始和结束坐标为x``start
,x``end
, 且满足 xstart ≤ x ≤ x``end
,则该气球会被 引爆 。可以射出的弓箭的数量
没有限制 。 弓箭一旦被射出之后,可以无限地前进。
给你一个数组 points
, _返回引爆所有气球所必须射出的 最小 弓箭数 _。
示例 1:
**输入:** points = [[10,16],[2,8],[1,6],[7,12]]
**输出:** 2
**解释:** 气球可以用2支箭来爆破:
-在x = 6处射出箭,击破气球[2,8]和[1,6]。
-在x = 11处发射箭,击破气球[10,16]和[7,12]。
示例 2:
**输入:** points = [[1,2],[3,4],[5,6],[7,8]]
**输出:** 4
**解释:** 每个气球需要射出一支箭,总共需要4支箭。
示例 3:
**输入:** points = [[1,2],[2,3],[3,4],[4,5]]
**输出:** 2
解释:气球可以用2支箭来爆破:
- 在x = 2处发射箭,击破气球[1,2]和[2,3]。
- 在x = 4处射出箭,击破气球[3,4]和[4,5]。
提示:
1 <= points.length <= 105
points[i].length == 2
-231 <= xstart < xend <= 231 - 1
方法一:排序 + 贪心
思路与算法
我们首先随机地射出一支箭,再看一看是否能够调整这支箭地射出位置,使得我们可以引爆更多数目的气球。
如图 1-1 所示,我们随机射出一支箭,引爆了除红色气球以外的所有气球。我们称所有引爆的气球为「原本引爆的气球」,其余的气球为「原本完好的气球」。可以发现,如果我们将这支箭的射出位置稍微往右移动一点,那么我们就有机会引爆红色气球,如图 1-2 所示。
那么我们最远可以将这支箭往右移动多远呢?我们唯一的要求就是:原本引爆的气球只要仍然被引爆就行了。这样一来,我们找出原本引爆的气球中右边界位置最靠左的那一个,将这支箭的射出位置移动到这个右边界位置,这也是最远可以往右移动到的位置:如图 1-3 所示,只要我们再往右移动一点点,这个气球就无法被引爆了。
为什么「原本引爆的气球仍然被引爆」是唯一的要求?别急,往下看就能看到其精妙所在。
因此,我们可以断定:
一定存在一种最优(射出的箭数最小)的方法,使得每一支箭的射出位置都恰好对应着某一个气球的右边界。
这是为什么?我们考虑任意一种最优的方法,对于其中的任意一支箭,我们都通过上面描述的方法,将这支箭的位置移动到它对应的「原本引爆的气球中最靠左的右边界位置」,那么这些原本引爆的气球仍然被引爆。这样一来,所有的气球仍然都会被引爆,并且每一支箭的射出位置都恰好位于某一个气球的右边界了。
有了这样一个有用的断定,我们就可以快速得到一种最优的方法了。考虑所有气球中右边界位置最靠左的那一个,那么一定有一支箭的射出位置就是它的右边界(否则就没有箭可以将其引爆了)。当我们确定了一支箭之后,我们就可以将这支箭引爆的所有气球移除,并从剩下未被引爆的气球中,再选择右边界位置最靠左的那一个,确定下一支箭,直到所有的气球都被引爆。
我们可以写出如下的伪代码:
1 | let points := [[x(0), y(0)], [x(1), y(1)], ... [x(n-1), y(n-1)]],表示 n 个气球 |
这样的做法在最坏情况下时间复杂度是 $O(n^2)$,即这 $n$ 个气球对应的区间互不重叠,while 循环需要执行 $n$ 次。那么我们如何继续进行优化呢?
事实上,在内层的 $j$ 循环中,当我们遇到第一个不满足 $x(j) \leq y(i)$ 的 $j$ 值,就可以直接跳出循环,并且这个 $y(j)$ 就是下一支箭的射出位置。为什么这样做是对的呢?我们考虑某一支箭的索引 $i_t$ 以及它的下一支箭的索引 $j_t$,对于索引在 $j_t$ 之后的任意一个可以被 $i_t$ 引爆的气球,记索引为 $j_0$,有:
$$
x(j_0) \leq y(i_t)
$$
由于 $y(i_t) \leq y(j_t)$ 显然成立,那么
$$
x(j_0) \leq y(j_t)
$$
也成立,也就是说:当前这支箭在索引 $j_t$(第一个无法引爆的气球)之后所有可以引爆的气球,下一支箭也都可以引爆。因此我们就证明了其正确性,也就可以写出如下的伪代码:
1 | let points := [[x(0), y(0)], [x(1), y(1)], ... [x(n-1), y(n-1)]],表示 n 个气球 |
这样就可以将计算答案的时间从 $O(n^2)$ 降低至 $O(n)$。
代码
1 | class Solution { |
1 | class Solution { |
1 | class Solution: |
1 | var findMinArrowShots = function(points) { |
1 | func findMinArrowShots(points [][]int) int { |
1 | int cmp(void* _a, void* _b) { |
复杂度分析
时间复杂度:$O(n\log n)$,其中 $n$ 是数组 points 的长度。排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$,对所有气球进行遍历并计算答案的时间复杂度为 $O(n)$,其在渐进意义下小于前者,因此可以忽略。
空间复杂度:$O(\log n)$,即为排序需要使用的栈空间。
结语
这道题的标记包含「贪心」,但本篇题解正文全文没有使用「贪心」二字,那么「贪心」的思想到底体现在哪里呢?欢迎读者评论区留言说出想法。