0486-预测赢家

给你一个整数数组 nums 。玩家 1 和玩家 2 基于这个数组设计了一个游戏。

玩家 1 和玩家 2 轮流进行自己的回合，玩家 1 先手。开始时，两个玩家的初始分值都是 0
。每一回合，玩家从数组的任意一端取一个数字（即，nums[0] 或 nums[nums.length - 1]），取到的数字将会从数组中移除（数组长度减 1 ）。玩家选中的数字将会加到他的得分上。当数组中没有剩余数字可取时，游戏结束。

如果玩家 1 能成为赢家，返回 true 。如果两个玩家得分相等，同样认为玩家 1 是游戏的赢家，也返回 true
。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

示例 1：

**输入：** nums = [1,5,2]
**输出：** false
**解释：** 一开始，玩家 1 可以从 1 和 2 中进行选择。
如果他选择 2（或者 1 ），那么玩家 2 可以从 1（或者 2 ）和 5 中进行选择。如果玩家 2 选择了 5 ，那么玩家 1 则只剩下 1（或者 2 ）可选。 
所以，玩家 1 的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家 2 为 5 。
因此，玩家 1 永远不会成为赢家，返回 false 。

示例 2：

**输入：** nums = [1,5,233,7]
**输出：** true
**解释：** 玩家 1 一开始选择 1 。然后玩家 2 必须从 5 和 7 中进行选择。无论玩家 2 选择了哪个，玩家 1 都可以选择 233 。
最终，玩家 1（234 分）比玩家 2（12 分）获得更多的分数，所以返回 true，表示玩家 1 可以成为赢家。

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 107

方法一：递归

为了判断哪个玩家可以获胜，需要计算一个总分，即先手得分与后手得分之差。当数组中的所有数字都被拿取时，如果总分大于或等于 0，则先手获胜，反之则后手获胜。

由于每次只能从数组的任意一端拿取数字，因此可以保证数组中剩下的部分一定是连续的。假设数组当前剩下的部分为下标 start 到下标 end，其中 0 \le \textit{start} \le \textit{end} < \textit{nums}.\text{length。如果 start}=\textit{end，则只剩一个数字，当前玩家只能拿取这个数字。如果 start}<\textit{end，则当前玩家可以选择 nums}[\textit{start}] 或 nums}[\textit{end}]，然后轮到另一个玩家在数组剩下的部分选取数字。这是一个递归的过程。

计算总分时，需要记录当前玩家是先手还是后手，判断当前玩家的得分应该记为正还是负。当数组中剩下的数字多于 1 个时，当前玩家会选择最优的方案，使得自己的分数最大化，因此对两种方案分别计算当前玩家可以得到的分数，其中的最大值为当前玩家最多可以得到的分数。

[sol1-Java]

class Solution {
    public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
        return total(nums, 0, nums.length - 1, 1) >= 0;
    }

    public int total(int[] nums, int start, int end, int turn) {
        if (start == end) {
            return nums[start] * turn;
        }
        int scoreStart = nums[start] * turn + total(nums, start + 1, end, -turn);
        int scoreEnd = nums[end] * turn + total(nums, start, end - 1, -turn);
        return Math.max(scoreStart * turn, scoreEnd * turn) * turn;
    }
}

[sol1-C]

int total(int* nums, int start, int end, int turn) {
    if (start == end) {
        return nums[start] * turn;
    }
    int scoreStart = nums[start] * turn + total(nums, start + 1, end, -turn);
    int scoreEnd = nums[end] * turn + total(nums, start, end - 1, -turn);
    return fmax(scoreStart * turn, scoreEnd * turn) * turn;
}

bool PredictTheWinner(int* nums, int numsSize) {
    return total(nums, 0, numsSize - 1, 1) >= 0;
}

[sol1-C++]

class Solution {
public:
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        return total(nums, 0, nums.size() - 1, 1) >= 0;
    }

    int total(vector<int>& nums, int start, int end, int turn) {
        if (start == end) {
            return nums[start] * turn;
        }
        int scoreStart = nums[start] * turn + total(nums, start + 1, end, -turn);
        int scoreEnd = nums[end] * turn + total(nums, start, end - 1, -turn);
        return max(scoreStart * turn, scoreEnd * turn) * turn;
    }
};

[sol1-Golang]

func PredictTheWinner(nums []int) bool {
    return total(nums, 0, len(nums) - 1, 1) >= 0
}

func total(nums []int, start, end int, turn int) int {
    if start == end {
        return nums[start] * turn
    }
    scoreStart := nums[start] * turn + total(nums, start + 1, end, -turn)
    scoreEnd := nums[end] * turn + total(nums, start, end - 1, -turn)
    return max(scoreStart * turn, scoreEnd * turn) * turn
}

func max(x, y int) int {
    if x > y {
        return x
    }
    return y
}

[sol1-Python3]

class Solution:
    def PredictTheWinner(self, nums: List[int]) -> bool:
        def total(start: int, end: int, turn: int) -> int:
            if start == end:
                return nums[start] * turn
            scoreStart = nums[start] * turn + total(start + 1, end, -turn)
            scoreEnd = nums[end] * turn + total(start, end - 1, -turn)
            return max(scoreStart * turn, scoreEnd * turn) * turn
        
        return total(0, len(nums) - 1, 1) >= 0

复杂度分析

• 时间复杂度：O(2^n)，其中 n 是数组的长度。

• 空间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度。空间复杂度取决于递归使用的栈空间。

方法二：动态规划

方法一使用递归，存在大量重复计算，因此时间复杂度很高。由于存在重复子问题，因此可以使用动态规划降低时间复杂度。

定义二维数组 dp，其行数和列数都等于数组的长度，dp}[i][j] 表示当数组剩下的部分为下标 i 到下标 j 时，即在下标范围 [i, j] 中，当前玩家与另一个玩家的分数之差的最大值，注意当前玩家不一定是先手。

只有当 i \le j 时，数组剩下的部分才有意义，因此当 i>j 时，dp}[i][j]=0。

当 i=j 时，只剩一个数字，当前玩家只能拿取这个数字，因此对于所有 0 \le i < \textit{nums}.\text{length，都有 dp}[i][i]=\textit{nums}[i]。

当 i<j 时，当前玩家可以选择 nums}[i] 或 nums}[j]，然后轮到另一个玩家在数组剩下的部分选取数字。在两种方案中，当前玩家会选择最优的方案，使得自己的分数最大化。因此可以得到如下状态转移方程：

\textit{dp}[i][j]=\max(\textit{nums}[i] - \textit{dp}[i + 1][j], \textit{nums}[j] - \textit{dp}[i][j - 1])

最后判断 dp}[0][\textit{nums}.\text{length}-1] 的值，如果大于或等于 0，则先手得分大于或等于后手得分，因此先手成为赢家，否则后手成为赢家。

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[sol2-Java]

class Solution {
    public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
        int length = nums.length;
        int[][] dp = new int[length][length];
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            dp[i][i] = nums[i];
        }
        for (int i = length - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < length; j++) {
                dp[i][j] = Math.max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[0][length - 1] >= 0;
    }
}

[sol2-C]

bool PredictTheWinner(int* nums, int numsSize) {
    int dp[numsSize][numsSize];
    for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
        dp[i][i] = nums[i];
    }
    for (int i = numsSize - 2; i >= 0; i--) {
        for (int j = i + 1; j < numsSize; j++) {
            dp[i][j] = fmax(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);
        }
    }
    return dp[0][numsSize - 1] >= 0;
}

[sol2-C++]

class Solution {
public:
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int length = nums.size();
        auto dp = vector<vector<int>> (length, vector<int>(length));
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            dp[i][i] = nums[i];
        }
        for (int i = length - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < length; j++) {
                dp[i][j] = max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1]);
            }
        }
        return dp[0][length - 1] >= 0;
    }
};

[sol2-Golang]

func PredictTheWinner(nums []int) bool {
    length := len(nums)
    dp := make([][]int, length)
    for i := 0; i < length; i++ {
        dp[i] = make([]int, length)
        dp[i][i] = nums[i]
    }
    for i := length - 2; i >= 0; i-- {
        for j := i + 1; j < length; j++ {
            dp[i][j] = max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1])
        }
    }
    return dp[0][length - 1] >= 0
}

func max(x, y int) int {
    if x > y {
        return x
    }
    return y
}

[sol2-Python3]

class Solution:
    def PredictTheWinner(self, nums: List[int]) -> bool:
        length = len(nums)
        dp = [[0] * length for _ in range(length)]
        for i, num in enumerate(nums):
            dp[i][i] = num
        for i in range(length - 2, -1, -1):
            for j in range(i + 1, length):
                dp[i][j] = max(nums[i] - dp[i + 1][j], nums[j] - dp[i][j - 1])
        return dp[0][length - 1] >= 0

上述代码中使用了二维数组 dp。分析状态转移方程可以看到，dp}[i][j] 的值只和 dp}[i + 1][j] 与 dp}[i][j - 1] 有关，即在计算 dp 的第 i 行的值时，只需要使用到 dp 的第 i 行和第 i+1 行的值，因此可以使用一维数组代替二维数组，对空间进行优化。

[sol3-Java]

class Solution {
    public boolean PredictTheWinner(int[] nums) {
        int length = nums.length;
        int[] dp = new int[length];
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            dp[i] = nums[i];
        }
        for (int i = length - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < length; j++) {
                dp[j] = Math.max(nums[i] - dp[j], nums[j] - dp[j - 1]);
            }
        }
        return dp[length - 1] >= 0;
    }
}

[sol3-C]

bool PredictTheWinner(int* nums, int numsSize) {
    int dp[numsSize];
    for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
        dp[i] = nums[i];
    }
    for (int i = numsSize - 2; i >= 0; i--) {
        for (int j = i + 1; j < numsSize; j++) {
            dp[j] = fmax(nums[i] - dp[j], nums[j] - dp[j - 1]);
        }
    }
    return dp[numsSize - 1] >= 0;
}

[sol3-C++]

class Solution {
public:
    bool PredictTheWinner(vector<int>& nums) {
        int length = nums.size();
        auto dp = vector<int>(length);
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            dp[i] = nums[i];
        }
        for (int i = length - 2; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < length; j++) {
                dp[j] = max(nums[i] - dp[j], nums[j] - dp[j - 1]);
            }
        }
        return dp[length - 1] >= 0;
    }
};

[sol3-Golang]

func PredictTheWinner(nums []int) bool {
    length := len(nums)
    dp := make([]int, length)
    for i := 0; i < length; i++ {
        dp[i] = nums[i]
    }
    for i := length - 2; i >= 0; i-- {
        for j := i + 1; j < length; j++ {
            dp[j] = max(nums[i] - dp[j], nums[j] - dp[j - 1])
        }
    }
    return dp[length - 1] >= 0
}

func max(x, y int) int {
    if x > y {
        return x
    }
    return y
}

[sol3-Python3]

class Solution:
    def PredictTheWinner(self, nums: List[int]) -> bool:
        length = len(nums)
        dp = [0] * length
        for i, num in enumerate(nums):
            dp[i] = num
        for i in range(length - 2, -1, -1):
            for j in range(i + 1, length):
                dp[j] = max(nums[i] - dp[j], nums[j] - dp[j - 1])
        return dp[length - 1] >= 0

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)，其中 n 是数组的长度。需要计算每个子数组对应的 dp 的值，共有 n(n+1)}{2 个子数组。

• 空间复杂度：O(n)，其中 n 是数组的长度。空间复杂度取决于额外创建的数组 dp，如果不优化空间，则空间复杂度是 O(n^2)，使用一维数组优化之后空间复杂度可以降至 O(n)。

拓展练习

读者在做完这道题之后，可以做另一道类似的题：「877. 石子游戏 」。和这道题相比，第 877 题增加了两个限制条件：

• 数组的长度是偶数；

• 数组的元素之和是奇数，所以没有平局。

对于第 877 题，除了使用这道题的解法以外，能否利用上述两个限制条件进行求解？