1011-在 D 天内送达包裹的能力

传送带上的包裹必须在 days 天内从一个港口运送到另一个港口。

传送带上的第 i 个包裹的重量为
weights[i]。每一天，我们都会按给出重量（weights）的顺序往传送带上装载包裹。我们装载的重量不会超过船的最大运载重量。

返回能在 days 天内将传送带上的所有包裹送达的船的最低运载能力。

示例 1：

**输入：** weights = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], days = 5
**输出：** 15
**解释：**
船舶最低载重 15 就能够在 5 天内送达所有包裹，如下所示：
第 1 天：1, 2, 3, 4, 5
第 2 天：6, 7
第 3 天：8
第 4 天：9
第 5 天：10

请注意，货物必须按照给定的顺序装运，因此使用载重能力为 14 的船舶并将包装分成 (2, 3, 4, 5), (1, 6, 7), (8), (9), (10) 是不允许的。 

示例 2：

**输入：** weights = [3,2,2,4,1,4], days = 3
**输出：** 6
**解释：**
船舶最低载重 6 就能够在 3 天内送达所有包裹，如下所示：
第 1 天：3, 2
第 2 天：2, 4
第 3 天：1, 4

示例 3：

**输入：** weights = [1,2,3,1,1], days = 4
**输出：** 3
**解释：**
第 1 天：1
第 2 天：2
第 3 天：3
第 4 天：1, 1

提示：

• 1 <= days <= weights.length <= 5 * 104
• 1 <= weights[i] <= 500

方法一：二分查找转化为判定问题

思路与算法

假设当船的运载能力为 x 时，我们可以在 days 天内运送完所有包裹，那么只要运载能力大于 x，我们同样可以在 days 天内运送完所有包裹：我们只需要使用运载能力为 x 时的运送方法即可。

这样一来，我们就得到了一个非常重要的结论：

存在一个运载能力的「下限」x_\textit{ans，使得当 x \geq x_\textit{ans 时，我们可以在 days 天内运送完所有包裹；当 x < x_\textit{ans 时，我们无法在 days 天内运送完所有包裹。

同时，x_\textit{ans 即为我们需要求出的答案。因此，我们就可以使用二分查找的方法找出 x_\textit{ans 的值。

在二分查找的每一步中，我们实际上需要解决一个判定问题：给定船的运载能力 x，我们是否可以在 days 天内运送完所有包裹呢？这个判定问题可以通过贪心的方法来解决：

由于我们必须按照数组 weights 中包裹的顺序进行运送，因此我们从数组 weights 的首元素开始遍历，将连续的包裹都安排在同一天进行运送。当这批包裹的重量大于运载能力 x 时，我们就需要将最后一个包裹拿出来，安排在新的一天，并继续往下遍历。当我们遍历完整个数组后，就得到了最少需要运送的天数。

我们将「最少需要运送的天数」与 days 进行比较，就可以解决这个判定问题。当其小于等于 days 时，我们就忽略二分的右半部分区间；当其大于 days 时，我们就忽略二分的左半部分区间。

细节

二分查找的初始左右边界应当如何计算呢？

对于左边界而言，由于我们不能「拆分」一个包裹，因此船的运载能力不能小于所有包裹中最重的那个的重量，即左边界为数组 weights 中元素的最大值。

对于右边界而言，船的运载能力也不会大于所有包裹的重量之和，即右边界为数组 weights 中元素的和。

我们从上述左右边界开始进行二分查找，就可以保证找到最终的答案。

代码

[sol1-C++]

class Solution {
public:
    int shipWithinDays(vector<int>& weights, int days) {
        // 确定二分查找左右边界
        int left = *max_element(weights.begin(), weights.end()), right = accumulate(weights.begin(), weights.end(), 0);
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            // need 为需要运送的天数
            // cur 为当前这一天已经运送的包裹重量之和
            int need = 1, cur = 0;
            for (int weight: weights) {
                if (cur + weight > mid) {
                    ++need;
                    cur = 0;
                }
                cur += weight;
            }
            if (need <= days) {
                right = mid;
            }
            else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
};

[sol1-Java]

class Solution {
    public int shipWithinDays(int[] weights, int days) {
        // 确定二分查找左右边界
        int left = Arrays.stream(weights).max().getAsInt(), right = Arrays.stream(weights).sum();
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            // need 为需要运送的天数
            // cur 为当前这一天已经运送的包裹重量之和
            int need = 1, cur = 0;
            for (int weight : weights) {
                if (cur + weight > mid) {
                    ++need;
                    cur = 0;
                }
                cur += weight;
            }
            if (need <= days) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
}

[sol1-Python3]

class Solution:
    def shipWithinDays(self, weights: List[int], days: int) -> int:
        # 确定二分查找左右边界
        left, right = max(weights), sum(weights)
        while left < right:
            mid = (left + right) // 2
            # need 为需要运送的天数
            # cur 为当前这一天已经运送的包裹重量之和
            need, cur = 1, 0
            for weight in weights:
                if cur + weight > mid:
                    need += 1
                    cur = 0
                cur += weight
            
            if need <= days:
                right = mid
            else:
                left = mid + 1
        
        return left

[sol1-JavaScript]

var shipWithinDays = function(weights, days) {
    // 确定二分查找左右边界
    let left = Math.max(...weights), right = weights.reduce((a, b) => a + b);
    while (left < right) {
        const mid = Math.floor((left + right) / 2);
        //  need 为需要运送的天数
        // cur 为当前这一天已经运送的包裹重量之和
        let need = 1, cur = 0;
        for (const weight of weights) {
            if (cur + weight > mid) {
                need++;
                cur = 0;
            } 
            cur += weight;
        }

        if (need <= days) {
            right = mid;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    return left;
};

[sol1-Golang]

func shipWithinDays(weights []int, days int) int {
    // 确定二分查找左右边界
    left, right := 0, 0
    for _, w := range weights {
        if w > left {
            left = w
        }
        right += w
    }
    return left + sort.Search(right-left, func(x int) bool {
        x += left
        day := 1 // 需要运送的天数
        sum := 0 // 当前这一天已经运送的包裹重量之和
        for _, w := range weights {
            if sum+w > x {
                day++
                sum = 0
            }
            sum += w
        }
        return day <= days
    })
}

[sol1-C]

int shipWithinDays(int* weights, int weightsSize, int days) {
    // 确定二分查找左右边界
    int left = 0, right = 0;
    for (int i = 0; i < weightsSize; i++) {
        left = fmax(left, weights[i]);
        right += weights[i];
    }
    while (left < right) {
        int mid = (left + right) / 2;
        // need 为需要运送的天数
        // cur 为当前这一天已经运送的包裹重量之和
        int need = 1, cur = 0;
        for (int i = 0; i < weightsSize; i++) {
            if (cur + weights[i] > mid) {
                ++need;
                cur = 0;
            }
            cur += weights[i];
        }
        if (need <= days) {
            right = mid;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    return left;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O\big(n\log(\Sigma w)\big)，其中 n 是数组 weights 的长度，\Sigma w 是数组 weights 中元素的和。二分查找需要执行的次数为 O(\log(\Sigma w))，每一步中需要对数组 weights 进行依次遍历，时间为 O(n)，相乘即可得到总时间复杂度。

• 空间复杂度：O(1)。