1539-第 k 个缺失的正整数

给你一个 严格升序排列 的正整数数组 arr 和一个整数 k 。

请你找到这个数组里第 k 个缺失的正整数。

示例 1：

**输入：** arr = [2,3,4,7,11], k = 5
**输出：** 9
**解释：** 缺失的正整数包括 [1,5,6,8,9,10,12,13,...] 。第 5 个缺失的正整数为 9 。

示例 2：

**输入：** arr = [1,2,3,4], k = 2
**输出：** 6
**解释：** 缺失的正整数包括 [5,6,7,...] 。第 2 个缺失的正整数为 6 。

提示：

• 1 <= arr.length <= 1000
• 1 <= arr[i] <= 1000
• 1 <= k <= 1000
• 对于所有 1 <= i < j <= arr.length 的 i 和 j 满足 arr[i] < arr[j]

进阶：

你可以设计一个时间复杂度小于 O(n) 的算法解决此问题吗？

方法一：枚举

思路与算法

我们可以顺序枚举。

用一个变量 current 表示当前应该出现的数，从 1 开始，每次循环都让该变量递增。用一个指针 ptr 指向数组中没有匹配的第一个元素，每轮循环中将该元素和 current 进行比较，如果相等，则指针后移，否则指针留在原地不动，说明缺失正整数 current。我们用 missCount 变量记录缺失的正整数的个数，每次发现有正整数缺失的时候，该变量自增，并且记录这个缺失的正整数，直到我们找到第 k 个缺失的正整数。

代码

[sol1-C++]

class Solution {
public:
    int findKthPositive(vector<int>& arr, int k) {
        int missCount = 0, lastMiss = -1, current = 1, ptr = 0; 
        for (missCount = 0; missCount < k; ++current) {
            if (current == arr[ptr]) {
                ptr = (ptr + 1 < arr.size()) ? ptr + 1 : ptr;
            } else {
                ++missCount;
                lastMiss = current;
            }
        }
        return lastMiss;
    }
};

[sol1-Java]

class Solution {
    public int findKthPositive(int[] arr, int k) {
        int missCount = 0, lastMiss = -1, current = 1, ptr = 0; 
        for (missCount = 0; missCount < k; ++current) {
            if (current == arr[ptr]) {
                ptr = (ptr + 1 < arr.length) ? ptr + 1 : ptr;
            } else {
                ++missCount;
                lastMiss = current;
            }
        }
        return lastMiss;
    }
}

[sol1-C#]

public class Solution {
    public int FindKthPositive(int[] arr, int k) {
        int missCount = 0, lastMiss = -1, current = 1, ptr = 0; 
        for (missCount = 0; missCount < k; ++current) {
            if (current == arr[ptr]) {
                ptr = (ptr + 1 < arr.Length) ? ptr + 1 : ptr;
            } else {
                ++missCount;
                lastMiss = current;
            }
        }
        return lastMiss;
    }
}

[sol1-JavaScript]

var findKthPositive = function(arr, k) {
    let missCount = 0, lastMiss = -1, current = 1, ptr = 0; 
    for (missCount = 0; missCount < k; ++current) {
        if (current == arr[ptr]) {
            ptr = (ptr + 1 < arr.length) ? ptr + 1 : ptr;
        } else {
            ++missCount;
            lastMiss = current;
        }
    }
    return lastMiss;
};

[sol1-Python3]

class Solution:
    def findKthPositive(self, arr: List[int], k: int) -> int:
        missCount = 0
        lastMiss = -1
        current = 1
        ptr = 0

        while missCount < k:
            if current == arr[ptr]:
                if ptr + 1 < len(arr):
                    ptr += 1
            else:
                missCount += 1
                lastMiss = current
            current += 1
        
        return lastMiss

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n + k)，其中 n 是数组 arr 的长度，k 是给定的整数。最坏情况下遍历完整个数组都没有缺失正整数，还要再将 current 递增 k 次，才能找到最终的答案。

• 空间复杂度：O(1)。

方法二：二分查找

思路与算法

对于每个元素 a_i，我们都可以唯一确定到第 i 个元素为止缺失的元素数量为 a_i - i - 1，例如：

第 i 个元素	a_i 的值	到第 i 个元素为止缺失的元素数量 p_i
a_0	2	1
a_1	3	1
a_2	4	1
a_3	7	3
a_4	11	6

我们发现 p_i 是随 i 非严格递增的，于是可以使用二分查找解决这个问题。我们只要找到一个 i 使得 p_{i - 1} < k \leq p_{i，就可以确定缺失的第 k 个数为 k - p_{i - 1} + a_{i - 1。也就是说，我们要找到第一个大于等于 k 的 p_i。

在实现的时候，我们要注意两个边界的处理：

• 当 a_0 > k 时，最终 i = 0，找不到 i - 1，所以提前判断是否 a_0 > k，如果是，则直接返回 k。
• 当最后一个元素对应的缺失个数 p_{n - 1} < k 时，我们并不能找到第一个大于等于 k 的 p_i，为了解决这个问题，可以在 a 序列的最后加入一个虚拟的值，这个值的大小为一个不会出现的非常大的数，这样就可以保证一定能找到一个大于等于 k 的 p_i。

代码

[sol2-C++]

class Solution {
public:
    int findKthPositive(vector<int>& arr, int k) {
        if (arr[0] > k) {
            return k;
        }

        int l = 0, r = arr.size();
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            int x = mid < arr.size() ? arr[mid] : INT_MAX;
            if (x - mid - 1 >= k) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }

        return k - (arr[l - 1] - (l - 1) - 1) + arr[l - 1];
    }
};

[sol2-Java]

class Solution {
    public int findKthPositive(int[] arr, int k) {
        if (arr[0] > k) {
            return k;
        }

        int l = 0, r = arr.length;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            int x = mid < arr.length ? arr[mid] : Integer.MAX_VALUE;
            if (x - mid - 1 >= k) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }

        return k - (arr[l - 1] - (l - 1) - 1) + arr[l - 1];
    }
}

[sol2-C#]

public class Solution {
    public int FindKthPositive(int[] arr, int k) {
        if (arr[0] > k) {
            return k;
        }

        int l = 0, r = arr.Length;
        while (l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            int x = mid < arr.Length ? arr[mid] : int.MaxValue;
            if (x - mid - 1 >= k) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }

        return k - (arr[l - 1] - (l - 1) - 1) + arr[l - 1];
    }
}

[sol2-JavaScript]

var findKthPositive = function(arr, k) {
    if (arr[0] > k) {
        return k;
    }

    let l = 0, r = arr.length;
    while (l < r) {
        const mid = Math.floor((l + r) / 2);
        let x = mid < arr.length ? arr[mid] : 2000000;
        if (x - mid - 1 >= k) {
            r = mid;
        } else {
            l = mid + 1;
        }
    }

    return k - (arr[l - 1] - (l - 1) - 1) + arr[l - 1];
};

[sol2-Python3]

class Solution:
    def findKthPositive(self, arr: List[int], k: int) -> int:
        if arr[0] > k:
            return k
        
        l, r = 0, len(arr)
        while l < r:
            mid = (l + r) >> 1
            x = arr[mid] if mid < len(arr) else 10**9
            if x - mid - 1 >= k:
                r = mid
            else:
                l = mid + 1

        return k - (arr[l - 1] - (l - 1) - 1) + arr[l - 1]

复杂度分析

• 时间复杂度：O(\log n)，其中 n 是数组 arr 的长度。即二分查找的时间复杂度。

• 空间复杂度：O(1)。