1911-最大子序列交替和

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 16:06:31 2023-09-13 16:06:31 Updated    

一个下标从 0 开始的数组的 交替和 定义为 偶数 下标处元素之 和 减去 奇数 下标处元素之 和 。

  • 比方说，数组 [4,2,5,3] 的交替和为 (4 + 5) - (2 + 3) = 4 。

给你一个数组 nums ，请你返回 nums 中任意子序列的 最大交替和 （子序列的下标 重新 从 0 开始编号）。

一个数组的 子序列 是从原数组中删除一些元素后（也可能一个也不删除）剩余元素不改变顺序组成的数组。比方说，[2,7,4] 是 [4, **2** ,3, **7** ,2,1, **4** ] 的一个子序列（加粗元素），但是 [2,4,2] 不是。

示例 1：

**输入：** nums = [ **4** , **2** , **5** ,3]
**输出：** 7
**解释：** 最优子序列为 [4,2,5] ，交替和为 (4 + 5) - 2 = 7 。

示例 2：

**输入：** nums = [5,6,7, **8** ]
**输出：** 8
**解释：** 最优子序列为 [8] ，交替和为 8 。

示例 3：

**输入：** nums = [ **6** ,2, **1** ,2,4, **5** ]
**输出：** 10
**解释：** 最优子序列为 [6,1,5] ，交替和为 (6 + 5) - 1 = 10 。

提示：

  • 1 <= nums.length <= 105
  • 1 <= nums[i] <= 105

方法一：动态规划

思路与算法

我们将题目给出大小为 n 的数组 nums。现在我们需要返回 nums 中任意子序列的「最大交替和」，其中「最大交替和」定义为该序列偶数下标元素和减去奇数下标元素和（序列的下标从 0 开始）。

设 dp}[i][0] 和 dp}[i][1] 分别为在 nums 的前缀 nums}[0], \textit{nums}[1], \dots, \textit{nums}[i] 中选择一个子序列，并且选择的子序列的最后一个元素的下标为偶数和奇数的「最大交替和」。现在我们来思考如何进行状态转移。

  • 对于 dp}[i][0] 为以下两者中的较大值：
    • 若 nums}[i] 被选择：dp}[i][0] = \textit{dp}[i - 1][1] + \textit{nums}[i]。
    • 否则：dp}[i][0] = \textit{dp}[i - 1][0]。
  • 对于 dp}[i][1] 为以下两者中的较大值：
    • 若 nums}[i] 被选择：dp}[i][1] = \textit{dp}[i - 1][0] - \textit{nums}[i]。
    • 否则：dp}[i][1] = \textit{dp}[i - 1][1]。

以上的讨论都在 i > 0 的基础上，当 i = 0 时：dp}[0][0] = \textit{nums}[0]，dp}[0][1] = 0。
最终我们返回 dp}[n - 1][0] 和 dp}[n - 1][1] 中的较大值即可，又因为可以分析得到「最大交替和」一定不会为 dp}[n - 1][1]，因为最终选择的序列最后一个元素一定不可能位于奇数下标（因为奇数下标对应着减去该元素的值，我们可以不选择该元素）。所以最终返回 dp}[n - 1][0] 即可。

因为 dp}[i] 的求解只与 dp}[i - 1] 有关，所以在实现的过程中我们可以通过「滚动数组」的方式来进行空间优化。

代码

[sol1-Python3]
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class Solution:
    def maxAlternatingSum(self, nums: List[int]) -> int:
        even, odd = nums[0], 0
        for i in range(1, len(nums)):
            even, odd = max(even, odd + nums[i]), max(odd, even - nums[i])
        return even
[sol1-Java]
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class Solution {
    public long maxAlternatingSum(int[] nums) {
        long even = nums[0], odd = 0;
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            even = Math.max(even, odd + nums[i]);
            odd = Math.max(odd, even - nums[i]);
        }
        return even;
    }
}
[sol1-C++]
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class Solution {
public:
    long long maxAlternatingSum(vector<int>& nums) {
        long long even = nums[0], odd = 0;
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            even = max(even, odd + nums[i]);
            odd = max(odd, even - nums[i]);
        }
        return even;
    }
};
[sol1-C#]
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public class Solution {
    public long MaxAlternatingSum(int[] nums) {
        long even = nums[0], odd = 0;
        for (int i = 1; i < nums.Length; i++) {
            even = Math.Max(even, odd + nums[i]);
            odd = Math.Max(odd, even - nums[i]);
        }
        return even;
    }
}
[sol1-JavaScript]
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var maxAlternatingSum = function(nums) {
    let even = nums[0], odd = 0;
    for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
        even = Math.max(even, odd + nums[i]);
        odd = Math.max(odd, even - nums[i]);
    }
    return even;
};
[sol1-Go]
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func maxAlternatingSum(nums []int) int64 {
    even, odd := nums[0], 0
    for i := 1; i < len(nums); i++ {
        even = max(even, odd + nums[i])
        odd = max(odd, even - nums[i])
    }
    return int64(even)
}

func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}
[sol1-C]
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long long maxAlternatingSum(int* nums, int numsSize){
    long long even = nums[0], odd = 0;
    for (int i = 1; i < numsSize; i++) {
        even = fmax(even, odd + nums[i]);
        odd = fmax(odd, even - nums[i]);
    }
    return even;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n)，其中 n 为数组 nums 的长度。
  • 空间复杂度：O(1)，在使用「滚动数组」优化后仅使用常量空间。
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