LCR 095-最长公共子序列

Raphael Liu Lv10
  2023-09-13 00:47:26 2023-09-13 00:47:26 Created   2023-09-13 16:06:27 2023-09-13 16:06:27 Updated    

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 _ _
是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

  • 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

**输入：** text1 = "abcde", text2 = "ace" 
**输出：** 3  
**解释：** 最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：

**输入：** text1 = "abc", text2 = "abc"
**输出：** 3
**解释：** 最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：

**输入：** text1 = "abc", text2 = "def"
**输出：** 0
**解释：** 两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

  • 1 <= text1.length, text2.length <= 1000
  • text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

注意：本题与主站 1143 题相同： <https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-
subsequence/>

方法一：动态规划

最长公共子序列问题是典型的二维动态规划问题。

假设字符串 text}_1 和 text}_2 的长度分别为 m 和 n，创建 m+1 行 n+1 列的二维数组 dp，其中 dp}[i][j] 表示 text}_1[0:i] 和 text}_2[0:j] 的最长公共子序列的长度。

上述表示中，text}_1[0:i] 表示 text}_1 的长度为 i 的前缀，text}_2[0:j] 表示 text}_2 的长度为 j 的前缀。

考虑动态规划的边界情况：

  • 当 i=0 时，text}_1[0:i] 为空，空字符串和任何字符串的最长公共子序列的长度都是 0，因此对任意 0 \le j \le n，有 dp}[0][j]=0；

  • 当 j=0 时，text}_2[0:j] 为空，同理可得，对任意 0 \le i \le m，有 dp}[i][0]=0。

因此动态规划的边界情况是：当 i=0 或 j=0 时，dp}[i][j]=0。

当 i>0 且 j>0 时，考虑 dp}[i][j] 的计算：

  • 当 text}_1[i-1]=\textit{text}_2[j-1] 时，将这两个相同的字符称为公共字符，考虑 text}_1[0:i-1] 和 text}_2[0:j-1] 的最长公共子序列，再增加一个字符（即公共字符）即可得到 text}_1[0:i] 和 text}_2[0:j] 的最长公共子序列，因此 dp}[i][j]=\textit{dp}[i-1][j-1]+1。

  • 当 text}_1[i-1] \ne \textit{text}_2[j-1] 时，考虑以下两项：

    • text}_1[0:i-1] 和 text}_2[0:j] 的最长公共子序列；

    • text}_1[0:i] 和 text}_2[0:j-1] 的最长公共子序列。

    要得到 text}_1[0:i] 和 text}_2[0:j] 的最长公共子序列，应取两项中的长度较大的一项，因此 dp}[i][j]=\max(\textit{dp}[i-1][j],\textit{dp}[i][j-1])。

由此可以得到如下状态转移方程：

\textit{dp}[i][j] = \begin{cases}
\textit{dp}[i-1][j-1]+1, & \textit{text}_1[i-1]=\textit{text}_2[j-1] \
\max(\textit{dp}[i-1][j],\textit{dp}[i][j-1]), & \textit{text}_1[i-1] \ne \textit{text}_2[j-1]
\end{cases}

最终计算得到 dp}[m][n] 即为 text}_1 和 text}_2 的最长公共子序列的长度。

fig1{:width=”85%”}

[sol1-Java]
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class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m = text1.length(), n = text2.length();
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            char c1 = text1.charAt(i - 1);
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                char c2 = text2.charAt(j - 1);
                if (c1 == c2) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}
[sol1-JavaScript]
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var longestCommonSubsequence = function(text1, text2) {
    const m = text1.length, n = text2.length;
    const dp = new Array(m + 1).fill(0).map(() => new Array(n + 1).fill(0));
    for (let i = 1; i <= m; i++) {
        const c1 = text1[i - 1];
        for (let j = 1; j <= n; j++) {
            const c2 = text2[j - 1];
            if (c1 === c2) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
};
[sol1-Golang]
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func longestCommonSubsequence(text1, text2 string) int {
    m, n := len(text1), len(text2)
    dp := make([][]int, m+1)
    for i := range dp {
        dp[i] = make([]int, n+1)
    }
    for i, c1 := range text1 {
        for j, c2 := range text2 {
            if c1 == c2 {
                dp[i+1][j+1] = dp[i][j] + 1
            } else {
                dp[i+1][j+1] = max(dp[i][j+1], dp[i+1][j])
            }
        }
    }
    return dp[m][n]
}

func max(a, b int) int {
    if a > b {
        return a
    }
    return b
}
[sol1-Python3]
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class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        m, n = len(text1), len(text2)
        dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
        
        for i in range(1, m + 1):
            for j in range(1, n + 1):
                if text1[i - 1] == text2[j - 1]:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
        
        return dp[m][n]
[sol1-C++]
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class Solution {
public:
    int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
        int m = text1.length(), n = text2.length();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            char c1 = text1.at(i - 1);
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                char c2 = text2.at(j - 1);
                if (c1 == c2) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};
[sol1-C]
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int longestCommonSubsequence(char* text1, char* text2) {
    int m = strlen(text1), n = strlen(text2);
    int dp[m + 1][n + 1];
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        char c1 = text1[i - 1];
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            char c2 = text2[j - 1];
            if (c1 == c2) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = fmax(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是字符串 text}_1 和 text}_2 的长度。二维数组 dp 有 m+1 行和 n+1 列，需要对 dp 中的每个元素进行计算。

  • 空间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是字符串 text}_1 和 text}_2 的长度。创建了 m+1 行 n+1 列的二维数组 dp。

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